Eulers transform

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Eulers transform, uppkallad efter Leonhard Euler, är inom matematik en metod för att förbättra konvergensen hos alternerande serier. En konvergent alternerande serie

s = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k = a_0-a_1+a_2-\ldots

transformeras med denna metod till

s = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Delta^k a_0}{2^{k+1}}

där Δ är en differensoperator sådan att

\Delta^k a_0 = \sum_{m=0}^k (-1)^m {k \choose m} a_{k-m}.

Eulers transform är en speciell tillämpning av binomialtransformen.

Exempel

Den långsamt konvergerande alternerande harmoniska serien

s = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots

med summan s = ln 2 omvandlas med Eulers transform till

\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{64} + \frac{1}{160} + \ldots = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 2^k}

som konvergerar betydligt snabbare.

Källor

  • Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, s. 16
  • Lennart Råde & Bertil Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur 2004, s. 421
Personliga verktyg