Eulers stegmetod

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Den blå kurvan är differentialekvationens lösning, den röda polygonala linjen är approximationen enligt Eulers stegmetod.

Eulers stegmetod (en. Euler's method), numerisk analys, numerisk metod för att lösa differentialekvationen y' = f(t, y) genom att dela in den i diskreta stegintervall. Metoden utgår från Taylorserien

där man försummar termer av högre ordning än två. Man approximerar alltså funktionens lösningskurva med sin tangent i varje punkt och beräknar nästa punkt på kurvan genom att följa tangentens riktning.

Eftersom y' = f(t, y) fås

y(t + h) = y(t) + f(t,y(t))h

eller i diskret form

y_{k + 1} = y_k + f(t_k,y_k)h_k

Tidsstegen ges av t_k och t_{k + 1} = t_k + h_k och steglängen h_k väljs på sådant sätt att största noggrannhet erhålls, vilket kan bli ett större problem än grundproblemet. Ofta väljs h_k = h, där h är en konstant.

Eulers stegmetod är en s.k. enstegsmetod eftersom den bara baserar sig på information från steget före. Noggrannheten är exakt för homogena differentialekvationer av första ordningen. Stabiliteten varierar beroende på differentialekvation; i vissa fall växer felet exponentiellt, medan i andra fall avtar felet exponentiellt.

Felanalys

För (globala) trunkeringsfelet i Eulers stegmetod gäller

.

Exempel

Låt y ′ = 3t — y,  y ₀ = 2, steglängden h = 0,5.

Det vill säga vi startar i punkten (0, 2). I denna punkt beräknar vi lösningskurvans lutning:

y ′ (0) = 3*0 — 2 = -2

Med steglängden 0,5 blir nästa t-värde 0 + 0,5 och nästa y-värde = 2 + (-2)*0,5 = 1. Så håller vi på och stegar oss framåt tills vi når det t-värde vi är intresserade av.

Följande tabell visar de beräknade värdena som ger en numerisk uppskattning av y (2) :

Alltså är y(2) = 2,75 enligt Eulers stegmetod, med steglängden 0,5 Om ett mindre h hade använts, så hade man fått fram ett mycket noggrannare värde.

Detta svar kan jämföras med den exakta lösningen som är y(t ) = 5e^-t + 3t - 3 och som då ger att y(2) = 5e^-2 + 3 = 3,68. Att det blev så stor skillnad är inte att förvånas över, för att få ett någorlunda bra svar bör h vara som mest en tiondel av intervallet, d.v.s. ungefär 0,1 eller 0,2 i det här fallet.

Se även

• Taylorseriemetod
• Heuns metod
• Mittpunktsmetoden
• Runge-Kuttas metod
• Extrapoleringsmetod
• Flerstegsmetod
• Flervärdesmetod

Externa länkar

• Eulers stegmetod som java-applet

Referenser

• Michael T. Heath, Scientific Computing - an introduction survey, McGraw-Hill (1997)