Baselproblemet

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Baselproblemet formulerades 1644 av Pietro Mengoli och löstes av Leonhard Euler 1735. Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zeta-funktion.

Problemet är att finna vad serien

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

konvergerar mot.

Eulers lösning

För att visa detta samband utgick Euler från maclaurinutvecklingen av sinus:

$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots$

För ekvationen $sin z = 0$ blir en rot $z = 0$ , och för övriga gäller enligt ovan:

$1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \frac{z^6}{7!} + \cdots = 0$

(1)

Med variabelbytet $w = z 2$ får vi följande ekvation:

$1 - \frac{w}{3!} + \frac{w^2}{5!} - \frac{w^3}{7!} + \cdots = 0$

(2)

De nollskilda lösningarna till $sin z = 0$ är $z = \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots$ vilket ger $w_1 = \pi^2, w_2 = (2\pi)^2, w_3 = (3\pi)^2, \ldots$ som lösningar till ekvationen ovan.

Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om $x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{n}$ är rötter till ekvationen $x^n + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_n = 0$ gäller: