Från Rilpedia

Vinkelns tredelning är ett klassiskt problem inom geometrisk konstruktion. Problemet består i att dela en vinkel i tre lika stora vinklar med endast rätskiva och passare. Det är sedan länge bevisat att problemet inte kan lösas i allmänhet även om det finns vissa vinklar som är lösbara. Dock kan en allmän lösning tas fram om man tillåter andra verktyg än rätskiva och passare.

Innehåll 1 Relation till liknande problem 2 Regler för vinkelns tredelning 3 En allmän tredelning finns inte 4 Vissa vinklar kan tredelas

Relation till liknande problem

Problemet härstammar från antikens Grekland och är nära besläktat med andra problem som även de använder sig av endast rätskiva och passare:

• Deliska problemet - Problemet går ut på att räkna ut kanten på en kub som har dubbla volymen av en given kub.
• Cirkelns kvadratur - Problemet går ut på att med de givna verktygen, rita en kvadrat med samma area som en given cirkel.

I korta drag är problemen olösbara eftersom de nya figurerna beskrivs med rationella tal, vilka ej kan ritas upp geometriskt.

Regler för vinkelns tredelning

Många hävdar fortfarande att problemet är lösbart, men om man följer följande regler är det bevisat omöjligt att lösa problemet:

• Endast en rätskiva och en passare är tillåtet.
• Rätskivan får ej användas till att mäta längder eller rita markeringar på.
• Passaren används enbart till att rita cirklar runt en fixt punkt.
• Passaren och rätskivan får ej användas till att skapa ett nytt verktyg eller en ny typ av kurva.

En allmän tredelning finns inte

Det geometriska problemet kan kopplas till lösningen av ett algebraiskt problem genom att använda den trigonometriska identiteten cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ).

En allmän tredelning finns inte eftersom vinkeln π / 3 ej kan delas. Notera att .

Om medför det att 4 * y³ − 3 * y − 1 / 2 = 0.

Genom substitution där vi sätter x = 2y medför det att (2y)³ − 3 * (2y) − 1 = (2x)³ − 3 * (2x) − 1 = 0. Denna ekvation kan ej lösas geometriskt enligt reglerna eftersom en lösning kräver egenskaper som de givna verktygen inte har.

Vissa vinklar kan tredelas

Detta är en metod att dela vinkeln 90 grader i tre delar om 30 grader.

Genom att utgå från origo och rita en cirkel som skär axlarna får vi punkterna B och D. Om vi, från dessa punkter, ritar en lika stor cirkel så får vi nu fram två nya skärningspunkter C och E.

Eftersom samma mått på passaren använts hela tiden, har vi nu två liksidiga trianglar ABC och ADE. Dessa har därför vinkeln 60 grader vilket er oss att vinklarna AEB, ACE och ACD är 30 grader vardera.