Peanos axiom
Från Rilpedia
Peanos axiom är ett postulatsystem innehållande 5 postulat för de naturliga talen. De primitiva begreppen i detta system är, "0" (eller 1), "tal" och "efterföljare". Utifrån detta postulatsystem kan man härleda alla satser inom den elementära aritmetiken.
- (P1). 0 är ett tal. (Ibland: 1 är ett tal)
- (P2). Efterföljaren till ett tal är alltid ett tal.
- (P3). Två olika tal har aldrig samma efterföljare.
- (P4). 0 är inte efterföljare till något tal.
- (P5). Om P är en egenskap sådan, att 0 har denna egenskap, och närhelst ett tal n har egenskapen P, så har också efterföljaren till n egenskapen P; så har varje tal egenskapen P.
Efterföljaren till n betecknas för enkelhetens skull med apostrof, alltså n'.
Det börjar med 0 eftersom man definierar 0 som naturligt. 0 definieras som tomma mängden Ø, 1 (ett) som mängden av noll = {0} = {Ø},
2 (två) som mängden av noll och ett = {Ø,{Ø}} osv. 0 (noll) är ett kardinaltal.
Utifrån dessa axiom, som formulerades av Giuseppe Peano 1889, kan man definiera och härleda egenskaper hos de aritmetiska operationerna. Exempelvis summan x+y av två tal x och y definieras som en operation med egenskaperna
- x + 0 = x
- x + efterföljaren till y = efterföljaren till (x+y)
Referenser
- Landau: "Grundlagen der Analysis", en närmast komplett redovisning av hur ordnings- och räknereglerna för de olika talområdena kan härledas ur Peanos axiom.
