Satsen om största och minsta värde

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

En kontinuerlig funktion på intervallet [a,b] med största (röd prick) och minsta värde (blå prick) markerade.

Satsen om största och minsta värde, ibland kallad Weierstrass sats, är en matematisk sats inom matematisk analys som säger att varje funktion som är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall antar sitt största respektive minsta värde minst en gång vardera.

Mer formellt uttryckt, om funktion f är kontinuerlig på intervallet [a,b] så finns tal c och d i [a,b] så att

Detta kan generaliseras till att en kontinuerlig funktion som avbildar ett kompakt rum på en delmängd till de reella talen antar sitt största respektive minsta värde.

Bevis

Funktioner från [a,b] till

Nedan följer ett bevis för att funktionen antar sitt största värde. Beviset för att minsta värdet antas är analogt, använd funktionen − f istället för f.

Låt f vara en kontinuerlig funktion på intervallet [a,b].

Antag att f inte är en uppåt begränsad funktion. Då finns för varje naturligt tal n, enligt den Arkimediska egenskapen, ett x_n i [a,b] så att f(x_n) > n. Detta definierar en talföljd (x_n) Då [a,b] är begränsad ger Bolzano-Weierstrass sats att det finns en konvergent delföljd till (x_n) med gränsvärde x. x ligger i [a,b] eftersom intervallet är slutet. f är kontinuerlig, så konvergerar till f(x). Men för varje n_k, vilket ger att följden divergerar. Detta ger en motsägelse. Alltså är f uppåt begränsad på [a,b].

Då f är uppåt begränsad på [a,b] finns det, enligt supremumegenskapen, ett M så att för alla x i [a,b]. Ta nu talet M − 1 / n, som inte är en övre gräns för f(x). Det finns då alltså tal d_n i [a,b] så att M − 1 / n < f(d_n). Definiera en talföljd (d_n) med detta. Vi får nu att:

vilket ger att f(d_n) konvergerar mot M. Enligt Bolzano-Weierstrass sats finns en delföljd som konvergerar till något tal d, som måste ligga i [a,b] då intervallet är slutet. Då f(d_n) konvergerar till M måste även konvergera till M. Men eftersom f är kontinuerlig konvergerar till f(d). Alltså antar f sitt största värde M i d.

Funktioner från kompakta rum till

Låt f vara en kontinuerlig funktion från ett kompakt rum X till någon delmängd av de reella talen. f är kontinuerlig, så den avbildar kompakta mängder på kompakta mängder. De kompakta mängderna i är de slutna och begränsade mängderna. Därmed finns supremum och infimum, M och m, för f och det måste finnas c och d i X så att f(c) = m och f(d) = M, annars är inte mängden sluten.

Exempel

Följande exempel visar att mängden måste vara både sluten och begränsad:

• f(x) = x på är inte uppåt begränsad.
• på är uppåt begränsad men antar aldrig sitt supremum som är 1.
• på ]0,1] är inte uppåt begränsad.
• f(x) = 1 − x på ]0,1] antar aldrig sitt supremum som är 1.

Referenser

• Rudin, Walter: Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976. ISBN 0-07-054234-X. 

Denna artikel är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia