Bas (topologi)

Från Rilpedia

Version från den 28 mars 2009 kl. 12.17 av Calle (Diskussion)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

En bas B för en topologi T på en mängd X är en samling av element i T sådan att varje element i T är en union av ett godtyckligt antal element i B. Man säger att basen genererar topologin.

Definition och egenskaper

Om X är en mängd så är en samling B av delmängder till X en bas för en topologi om

Unionen av alla element i B är X.
Om $G_1, G_2 \in B$ , så ska det, för alla $p \in G_1 \cap G_2$ , finnas $G_3 \in B$ så att $p \in G_3$ och $G_3 \subseteq G_1 \cap G_2$ .

Om en samling av delmängder inte uppfyller båda villkoren är det inte en bas för någon topologi på X (det är dock en underbas). Om en samling av delmängder är en bas definierar det en unik topologi på X. Denna topologi kallas toppologin genererad av B. Baser är vanliga vid konstruktionen av topologier, exempelvis är den metriska topologin vanligtvis genererad via en bas.

Två baser sägs vara ekvivalenta baser om de definierar samma topologi. Två baser $B 1$ och $B 2$ är ekvivalenta om och endast om det för varje p i varje $G_1 \in B_1$ finns ett $G_2 \in B_2$ så att $p \in B_2 \subseteq B_1$ .