Lagrangemultiplikator

Från Rilpedia

Version från den 17 februari 2008 kl. 14.57 av Jorchr (Diskussion)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Innehåll

1 Bevis
2 Exempel
- 2.1 Lösning
3 Källa

Lagrangemultiplikatorer är en metod i matematisk analys som kan användas om man vill hitta alla extrempunkter på funktionen f(x,y) när den begränsas av ett bivillkor g(x,y)=0. Metoden är namngiven efter Joseph Louis Lagrange och baseras på följande teorem.

Antag att två funktioner f(x,y) samt g(x,y) har kontinuerliga förstaderivator i punkten $P 0$ =( $x 0$ , $y 0$ ) på kurvan C med ekvationen g(x,y)=0. Antag också att när f(x,y) begränsas av punkter på C så har funktionen alltid ett lokalt maximum eller minimum i $P 0$ .

Antag även att:

 1.  $P 0$  är inte en slutpunkt på C
 2. g(x,y)  0

Då finns ett tal, λ $0$ , sådant att ( $x 0$ , $y 0$ ) är en stationär punkt för Lagrangefunktionen

 L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

där λ är en Lagrangemultiplikator.

Bevis

1 och 2 tillsammans antyder att C är tillräckligt jämn för att ha en tangent igenom $P 0$ och att $\nabla$ g( $P 0$ ) är en normal till tangenten. Om $\nabla$ f( $P 0$ ) inte är parallell med $\nabla$ g( $P 0$ ) så har $\nabla$ f( $P 0$ ) en projicerad vektor, v, som inte är en nollvektor längs tangenten till C i $P 0$ . Det innebär att f har en positiv riktningsderivata i $P 0$ i vs riktning och en negativ riktningsderivata i motsatt riktning till v. Därmed ökar f om den rör sig bort från $P 0$ i riktningen v och minskar i riktningen -v, vilket i sin tur innebär att f inte kan ha ett lokalt maximum eller minimum i $P 0$ . Det innebär att $\nabla$ f( $P 0$ ) måste vara parallell med $\nabla$ g( $P 0$ ) och eftersom $\nabla$ g( $P 0$ ) $\ne$ 0 så måste det finnas ett tal, λ $0$ , sådant att $\nabla$ f( $P 0$ ) = -λ $0$ $\nabla$ g( $P 0$ ) eller

 (f( $P 0$ ) + λ $0$ g( $P 0$ )) = 0

Båda komponenterna i ovanstående vektor försäkrar oss om att $\partial$ L/ $\partial$ x = 0 och att $\partial$ L/ $\partial$ y = 0 i ( $x 0$ , $y 0$ ,λ $0$ ). Den tredje ekvationen som måste satisfieras av en stationär punkt på L är $\partial$ L/ $\partial$ λ = g(x,y) = 0. Den satisfieras i punkten ( $x 0$ , $y o$ ,λ $0$ ) därför att $P 0$ ligger på C. Då fås att ( $x 0$ , $y o$ ,λ $0$ ) är en stationär punkt till L(x,y,λ).

Exempel

Maximera f(x,y) = $x 3 y 5$ under bivillkoret g(x,y) = x + y = 8

Lösning

Vi börjar med att ställa upp lagrangefunktionen

 L(x,y,λ) =  $x 3 y 5$  + λ(x + y - 8)

Vi tar sedan fram alla partiella derivator och sätter dem lika med noll i ett ekvationssystem

 A: 3 $x 2 y 5$  + λ = 0 
 B: 5 $x 3 y 4$  + λ = 0 
 C: x + y - 8 = 0

A - B ger

 C: x + y - 8 = 0
 D: 3 $x 2 y 5$  - 5 $x 3 y 4$  = 0  -5x + 3y = 0

Detta ger

 x = 3 
 y = 5.

Det sökta värdet ges av f(3,5) = 84375.

Källa

Calculus, A Complete Course 4th Edition av Robert A. Adams

Lagrangemultiplikator

Från Rilpedia

Innehåll

Bevis

Exempel

Lösning

Källa

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk