Lagrangemultiplikator

Från Rilpedia

Version från den 17 februari 2008 kl. 14.57 av Jorchr (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Innehåll

Lagrangemultiplikatorer är en metod i matematisk analys som kan användas om man vill hitta alla extrempunkterfunktionen f(x,y) när den begränsas av ett bivillkor g(x,y)=0. Metoden är namngiven efter Joseph Louis Lagrange och baseras på följande teorem.

Antag att två funktioner f(x,y) samt g(x,y) har kontinuerliga förstaderivator i punkten P0=(x0,y0) på kurvan C med ekvationen g(x,y)=0. Antag också att när f(x,y) begränsas av punkter på C så har funktionen alltid ett lokalt maximum eller minimum i P0.

Antag även att:

 1. P0 är inte en slutpunkt på C
 2. \nablag(x,y) \ne 0

Då finns ett tal, λ0, sådant att (x0,y0) är en stationär punkt för Lagrangefunktionen

 L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

där λ är en Lagrangemultiplikator.

Bevis

1 och 2 tillsammans antyder att C är tillräckligt jämn för att ha en tangent igenom P0 och att \nablag(P0) är en normal till tangenten. Om \nablaf(P0) inte är parallell med \nablag(P0) så har \nablaf(P0) en projicerad vektor, v, som inte är en nollvektor längs tangenten till C i P0. Det innebär att f har en positiv riktningsderivata i P0 i vs riktning och en negativ riktningsderivata i motsatt riktning till v. Därmed ökar f om den rör sig bort från P0 i riktningen v och minskar i riktningen -v, vilket i sin tur innebär att f inte kan ha ett lokalt maximum eller minimum i P0. Det innebär att \nablaf(P0) måste vara parallell med \nablag(P0) och eftersom \nablag(P0) \ne 0 så måste det finnas ett tal, λ0, sådant att \nablaf(P0) = -λ0\nablag(P0) eller

 \nabla(f(P0) + λ0g(P0)) = 0

Båda komponenterna i ovanstående vektor försäkrar oss om att \partialL/\partialx = 0 och att \partialL/\partialy = 0 i (x0,y00). Den tredje ekvationen som måste satisfieras av en stationär punkt på L är \partialL/\partialλ = g(x,y) = 0. Den satisfieras i punkten (x0,yo0) därför att P0 ligger på C. Då fås att (x0,yo0) är en stationär punkt till L(x,y,λ).


Exempel

Maximera f(x,y) = x3y5 under bivillkoret g(x,y) = x + y = 8

Lösning

Vi börjar med att ställa upp lagrangefunktionen

 L(x,y,λ) = x3y5 + λ(x + y - 8)

Vi tar sedan fram alla partiella derivator och sätter dem lika med noll i ett ekvationssystem

 A: 3x2y5 + λ = 0 
 B: 5x3y4 + λ = 0 
 C: x + y - 8 = 0

A - B ger

 C: x + y - 8 = 0
 D: 3x2y5 - 5x3y4 = 0 \longleftrightarrow -5x + 3y = 0

Detta ger

 x = 3 
 y = 5. 

Det sökta värdet ges av f(3,5) = 84375.

Källa

Calculus, A Complete Course 4th Edition av Robert A. Adams

Personliga verktyg