Eulers transform

Version från den 25 oktober 2006 kl. 20.49 av Andejons (Diskussion)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Texten från svenska Wikipedia

Eulers transform, uppkallad efter Leonhard Euler, är inom matematik en metod för att förbättra konvergensen hos alternerande serier. En konvergent alternerande serie

$s = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k = a_0-a_1+a_2-\ldots$

transformeras med denna metod till

$s = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \Delta^k a_0}{2^{k+1}}$

där Δ är en differensoperator sådan att

$\Delta^k a_0 = \sum_{m=0}^k (-1)^m {k \choose m} a_{k-m}.$

Eulers transform är en speciell tillämpning av binomialtransformen.

Exempel

Den långsamt konvergerande alternerande harmoniska serien

$s = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots$

med summan s = ln 2 omvandlas med Eulers transform till

$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{64} + \frac{1}{160} + \ldots = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 2^k}$

som konvergerar betydligt snabbare.

Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, s. 16
Lennart Råde & Bertil Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur 2004, s. 421