Wiens lag

Från Rilpedia

Version från den 5 mars 2009 kl. 14.05 av BOTarate (Diskussion)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Svartkroppsspektrum vid olika temperaturer på dubbellogaritmisk skala; den streckade linjen genom topparna anger Wiens lag.

Wiens lag, också kallad Wiens förskjutninglag, är sambandet mellan emissionsmaximum och temperaturen av en svartkroppsstrålare. Det är vanligt att uttrycka Wiens lag på följande form:

$\frac{h \upsilon_{max}}{k_BT} \approx 2,\!822$

där h är Plancks konstant, υ_max emissionsmaximum, k_B Boltzmanns konstant och T temperaturen. Lagen kan också skrivas

$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$

där konstanten b, Wiens förskjutningskonstant, är

$b = 2,\!89777 \times 10^{-3} \ \mathrm{m \cdot K}$

Några handfasta exempel: solen med en yttemperatur på 6000 °C strålar starkast i det gröna kring 500 nm. En människa med en temperatur på 300 K strålar termisk infraröd med våglängder kring 10 μm. Kosmisk bakgrundsstrålning med en temperatur på 2,7 K har våglängder kring 1 mm.

Härledning

Den tyske fysikern Wilhelm Wien formulerade lagen 1893 utifrån ett termodynamiskt bevis, men den kan också härledas ur Plancks strålninglag för svarta kroppar, som tillkom senare. Tanken är att derivera strålningslagen med avseende på våglängden λ, och för att få λ_max sätts derivatan lika med noll. Under deriveringen hålls T konstant.

$u(\lambda) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_BT}-1}$

${ \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda k_BT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda k_BT}-1}\right)=0$

${hc\over\lambda k_BT }{1\over 1-e^{-h c/\lambda k_BT}}-5=0$

(c är ljushastigheten i vakuum.) Sätt

$x\equiv{hc\over\lambda k_BT }$

Då förkortas sambandet till:

${x\over 1-e^{-x}}-5=0$

Lösningen går inte att uttrycka i elementära funktioner, men kan lösas numeriskt till x = 4,9651142317442763... varför det hela kan nu förenklas och skrivas som

${hc\over\lambda_{max} k_BT} = x \Rightarrow \lambda_{max} = \frac{c h}{k_B T x}$

När den enda varierande termen är T, kan man förenkla vidare med

$b = \frac{c h}{k x} \approx 0,\!00289776 \;\;\mathrm{m \cdot K}$

och erhålla den sökta

$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$

Wiens lag

Från Rilpedia

Härledning

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk