Extensionalitetsaxiomet
Från Rilpedia
Extensionalitetsaxiomet är ett av de mängdteoretiska axiomen. Det är till exempel ett av axiomen i Zermelo-Fraenkels mängdteori, med urvalsaxiomet som är det dominerande sättet att axiomatisera mängdteori.
Uttryckt med predikatlogikens formella språk lyder axiomet:
Med ord kan axiomet uttryckas:
- För varje mängd A och B gäller att, A är lika med B om och endast om det för varje mängd C gäller att C är ett element i A om och endast om det också är ett element i B.
Mindre formellt betyder axiomet helt enkelt att mängderna A och B är lika om och endast om de består av precis samma element, d.v.s.
- En mängd bestäms unikt av sina element.
Man kan se axiomet som ett sätt att definiera vad som menas med att två mängder är lika.
Alternativa skrivsätt
I teorier som innehåller urelement krävs ett annat formellt uttryck. Eftersom urelement inte är en mängd så skulle 
inte säga mycket om A var ett urelement.
Eftersom är falsk om A är urelement skulle det också kunna tolkas som att urelement är tomma mängden. För att undvika detta kan uttrycket skrivas så att det endast gäller för icke-tomma mängder.
Det kan då se ut enligt följande:
![\forall A \, \forall B \, ( \exist C \, (C \in A) \Rightarrow [ \forall D \, (D \in A \iff D \in B) \Rightarrow A = B ] \, )](/w/images/sv.rilpedia.org/math/b/8/9/b893e615c2d87f0330bc97b49682e47c.png)
Med andra ord:
- För varje mängd A och B gäller att, om det existerar ett C sådant att C är ett element i A, då är A lika med B om det för varje mängd D gäller att D är ett element i A om och endast om det också är ett element i B.
