Riemann-Stieltjes integral

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Riemann-Stieltjes integral''', även kallad '''Stieltjesintegral''', är inom [[matematisk analys]] en speciell [[integral]], som kan ses som en generalisering av [[Riemannintegral]]en, uppkallad efter [[matematiker]]n [[Thomas Joannes Stieltjes]]. Vid vanlig Riemannintegrering integrerar man med hänsyn till <math> x </math>-axeln, men vid Riemann-Stieltjes-integrering integrerar man med hänsyn till en annan funktion.

==Definition och existens==

===Konstruktion av integralen===
Ett [[intervall]] av [[reella tal]] kallat <math> [a, b] </math> kan delas in i flera delintervall med en [[partition av ett intervall|partition]], <math> P </math>, som består av ändligt många punkter <math> x_0, x_1, ..., x_n </math> sådana att

:<math>a = x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{n-1} \leq x_n = b </math>.

För två begränsade funktioner på intervallet, <math> f(x) </math> och <math> \alpha(x) </math> inför vi [[differensoperator]]n:

:<math> \Delta \alpha_k = \alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})\,</math>.

Då <math> f(x) </math> är begränsad på <math> [a,b] </math> kan vi hitta ett [[supremum]] respektive [[infimum]] för funktionsvärdena på dessa intervall och inför beteckningarna:

:<math> M_k = \sup f(x) ~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)</math>
:<math> m_k = \inf f(x) ~~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)</math>

Vi får nu två summor, beroende på partitionen <math> P </math> och funktionerna <math> f </math> samt <math> \alpha </math>:

:<math> U(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n M_k \Delta \alpha_k </math>
:<math> L(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n m_k \Delta \alpha_k </math>

<math> U(P, f, \alpha) \geq L(P, f, \alpha)</math> (då <math> M_i \geq m_i</math>). 

Låt vidare <math> \mathcal{P} </math> vara mängden av alla partitioner av <math> [a, b]</math> och om

:<math>\inf_{P \in \mathcal{P}} U(P, f, \alpha) = \sup_{P \in \mathcal{P}} L(P, f, \alpha)</math>

säger man att integralen existerar, vilket beteknas med <math> f \in \mathfrak{R}(\alpha) </math>, och betecknar värdet med:

:<math> \int_a^b f \, d\alpha</math> eller <math> \int_a^b f(x) \, d\alpha(x)</math>.

Om man väljer <math> \alpha(x) = x </math> fås den vanliga Riemannintegralen.

===Existens med epsilon===
<math> f \in \mathfrak{R}(\alpha) </math> [[om och endast om]] det för varje <math> \epsilon > 0 </math> existerar en partition <math> P </math> så att

:<math> U(P, f, \alpha) - L(P, f \alpha) < \epsilon \,</math>.

{{stubavsnitt}}

==Egenskaper==
För strängt ökande <math>\alpha</math> och <math> f, f_1, f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha)</math> och <math> c \in \mathbb{R} </math> har integralen följande egenskaper:
*<math>f_1 + f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha)</math> och <math> \int_a^b(f_1+f_2) \, d\alpha =\int_a^b f_1 \, d\alpha +\int_a^b f_2 \, d\alpha </math>.
*<math>cf \in \mathfrak{R}(\alpha)</math> och <math> \int_a^b cf \, d\alpha = c\int_a^b f \, d\alpha</math>.
*Om <math> f_1 \leq f_2 </math> så <math>\int_a^b f_1 \, d\alpha \leq \int_a^b f_2 \, d\alpha </math>.
*Om <math> a < c < b </math> så <math> \int_a^c f \, d\alpha + \int_c^b f \, d\alpha = \int_a^b f \, d\alpha</math>

Om <math> \alpha_1 </math> och <math> \alpha_2 </math> är strängt ökande och <math> f \in \mathfrak{R}(\alpha_1) </math> och <math> f \in \mathfrak{R}(\alpha_2)</math> och <math> c \in \mathbb{R} </math> så:
*<math> \int_a^b f \,d(\alpha_1 + \alpha_2) = \int_a^b f \,d\alpha_1 + \int_a^b f \,d\alpha_2</math>.
*<math> \int_a^b f \,d(c\alpha) = c\int_a^b f \,d\alpha</math>

Om <math> f </math> även är kontinuerlig på hela <math>[a, b]</math> existerar det även <math> c \in [a, b]</math> så att:
:<math>\int_a^b f d \alpha = f(c)(\alpha(b) - \alpha(a))</math>
vilket kallas ''medelvärdesegenskapen''.

Om <math> \alpha </math> är strängt ökande och kontinuerlig deriverbar på <math> [a, b] </math> och<math> f \in \mathfrak{R}(\alpha)</math> så är

:<math> \int_a^b f \, d\alpha = \int_a^b f(x)\alpha'(x) \, d x</math>.

==Tillämpningar==
Riemann-Stieltjes integral kan användas till att räkna ut väntevärdet för en [[kumulativ fördelningsfunktion]] med diskret fördelning.

{{stubavsnitt}}

[[Kategori:Matematisk analys]]

[[ca:Integral de Riemann-Stieltjes]]
[[cs:Stieltjesův integrál]]
[[de:Stieltjesintegral]]
[[en:Riemann–Stieltjes integral]]
[[fi:Lebesgue-Stieltjes-integraali]]
[[fr:Intégrale de Stieltjes]]
[[it:Integrale di Riemann-Stieltjes]]
[[ru:Интеграл Римана — Стилтьеса]]