Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Peanos kurva''' upptäcktes 1890 av den italienske matematikern [[Giuseppe Peano]] och det var den första kontinuerliga kurvan som kunde täcka en hel kvadrat. Peanos upptäckt har sedan gett upphov till flera andra rumsfyllande kurvor både i planet och i högre dimensioner. Rumsfyllande kurvor av dimension 2 kallas dock ofta för Peanos kurvor till upptäckarens ära. ==Bakgrund== 1878 gjorde den rysk-tyske matematikern [[Georg Cantor]] en intressant upptäckt. Han fann att två ändliga, släta [[mångfald]]er oberoende av dess dimensioner har samma [[kardinalitet]]. Vilket med enklare språk betyder att två ytor av ändlig dimension t.ex. en linje och ett plan innehåller lika många punkter. Detta innebär att man skulle kunna avbilda enhetslinjen [0,1] på enhetskvadraten <math>[0,1]^2</math> [[bijektiv]]t. Det vill säga att varje element i [0,1] motsvarar ett och endast ett element i <math>[0,1]^2</math> och tvärtom. Cantors upptäckt skapade en mängd frågor, t.ex. kan en sådan avbildning vara kontinuerlig? [[Eugen Netto]] visade 1879 inga sådana [[kontinuerlig]] kurvor existerade om [[bijektiv]]iteten skulle uppfyllas. Då undrade man om det fanns kontinuerliga avbildningar då bijektiviteten sänktes till [[surjektiv]]itet. Alltså om det fanns kontinuerliga avbildningar från enhetslinjen till enhetskvadraten som passerar varje punkt i kvadraten. Peano fann 1890 att sådana kurvor existerade. ==Grafisk tolkning av Peanos kurva== [[Bild:Peano_curve_shaded.svg|thumb|425px|3 iterationer av Peanos kurva.]] Peano gjorde sin upptäckt analytiskt, det är dock lättare att förstå kurvans innebörd grafiskt. Den tyske matematiker [[David Hilbert]] var den första som insåg hur man kunde skapa kurvorna geometriskt. Han förstod att om enhetslinjen kan avbildas kontinuerligt på enhetskvadraten, kan man dela upp enhetslinjen i fyra lika stora intervall och avbildningen från dessa skulle hamna i fyra lika stora underkvadrater. Dessa kan sen i sin tur delas upp i fyra nya delar. När man delat intervallen och kvadraterna så de blivit godtyckligt små har man fått en peano kurva. Bilden visar hur man genererar en sådan kurva enligt Hilberts idé. Fast till skillnad från Hilbert använder bilden nio underkvadrater men principen är densamma. ==Definition av Peanos kurva== Peanos kurva avbildar <math>f:[0,1]\rightarrow [0,1]^2</math> och funktionen är definierat enligt ett [[trinär]]t system, <center><math> 0_3.t_1t_2t_3\cdots =\frac{t_1}{3} + \frac{t_2}{3^2} + \frac{t_3}{3^3} + \cdots,\quad t_j=0, 1, 2.</math></center> Peano skapade sin avbilning med hjälp av operatorn, <center><math> kt_j = 2 - t_j.</math></center> Peanos kurva avbildar ett trinärt bråk på en punkt i enhetskvadraten enligt <center><math> f\left(0_3.t_1t_2t_3t_4\cdots \right)=\begin{pmatrix}0_3.t_1(k^{t_2}t_3)(k^{t_2+t_4}t_5) \cdots\\ 0_3.(k^{t_1}t_2)(k^{t_1+t_3}t_4) \cdots\end{pmatrix}.</math></center> Där <math> k^v</math> beteknar den <math> v</math>te iterationen av <math>k</math>. För att avbildningen ska vara en rumsfyllande kurva måste den vara [[surjektiv]] och [[kontinuerlig]]. Så för att bevisa att Peanos kurva är en rumsfyllande kurva bevisas först att den är surjektiv och sedan att den är kontinuerlig. ==Bevis att Peanos kurva är rumsfyllande== ===Surjektivitet=== Tag en godtycklig punkt i enhetskvadraten, <center><math> (0_3.\beta_1\beta_2\beta_3\beta_4\cdots,0_3.\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4\cdots) \in [0,1]^2. </math></center> Det ska då finnas åtminestone en punkt på enhetslinjen <center><math>t=0_3.t_1t_2t_3t_4\cdots \in [0,1]</math></center> sådan att <center><math>f(t)=\begin{pmatrix}0_3.\beta_1\beta_2\beta_3\beta_4\cdots \\ 0_3.\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4\cdots\end{pmatrix}.</math></center> Genom att jämföra <math> f(t)</math> med Peanos definition erhåller man följande rekursiva samband: <center><math> \beta_n =k^{t_0 + t_2 + t_4 +\cdots + t_{2n-2}}t_{2n-1}, \quad\gamma_n =k^{t_1 + t_3 + t_5 +\cdots + t_{2n-1}}t_{2n}</math> där <math>t_0 = 0</math></center> Sambanden kan sen inverteras eftersom <center><math> k(kt_j)= 2 -(2-t_j) =t_j .</math></center> Det vill säga <math>k</math> är sin egen invers vilket ger <center><math> t_{2n-1} =k^{t_0 + t_2 + t_4 +\cdots + t_{2n-2}}\beta_n, \quad t_{2n}=k^{t_1 + t_3 + t_5 +\cdots + t_{2n-1}}\gamma_n. </math></center> Nu går det att lösa för <math>t_1,t_2,t_3,\cdots</math> och därav är <math>f</math> surjektiv. ===Kontinuitet=== Vi skriver Peanos kurva som <center><math>f(t)=\begin{pmatrix}\varphi(t) \\ \psi (t) \end{pmatrix}.</math></center> För att kurvan ska vara kontinuerlig måste både <math>\varphi(t)</math> och <math> \psi (t)</math> vara det på hela [0,1]. Funktionen <math>\varphi(t)</math> bevisas vara kontinuerlig genom att låta <center><math>t_0 =0_3.t_1t_2t_3\cdots t_{2n}t_{2n+1} \cdots \quad </math> och <math> \quad\delta = 1/3^{2n}-0_3.000\cdots0 t_{2n}t_{2n+1} \cdots</math></center> Detta ger <center><math> t_0+\delta=0_3.t_1t_2t_3\cdots t_{2n}t_{2n+1} \cdots + 1/3^{2n}-0_3.000\cdots0 t_{2n}t_{2n+1} \cdots = 0_3.t_1t_2t_3\cdots t_{2n}222\cdots.</math></center> Om vi nu har <math> t \in [t_0, t_0+\delta]</math> kommer <math>t</math> stämma överens med <math>t_0</math> de första <math>2n</math> sifftorna och därför kan man uttrycka <math>t</math> som, <center><math> t= 0_3.t_1t_2t_3\cdots t_{2n}s_{2n+1}s_{2n+2}\cdots.</math></center> För att se om <math>\varphi(t)</math> är kontinuerlig sätter vi <center><math> \epsilon = t_2 + t_4 +t_6 +\cdots +t_{2n}</math></center> och tittar sedan på <math>|\varphi(t)-\varphi(t_0)|</math> som ska gå mot noll om <math>\varphi(t)</math> är kontinuerlig. <center><math>|\varphi(t)-\varphi(t_0)| = |0_3.t_1(k^{t_2}t_3)\cdots(k^\epsilon s_{2n+1})\cdots\; -\; 0_3.t_1(k^{t_2}t_3)\cdots(k^\epsilon t_{2n+1})\cdots|</math></center> <center><math>\quad\le |(k^\epsilon s_{2n+1}-k^\epsilon t_{2n+1}|/3^{n+1}\; + \;|k^{\epsilon + s_{2n+2}}s_{2n+3}-k^{\epsilon +t_{2n+2}} t_{2n+3}|/3^{n+2}+ \cdots</math></center> <center><math>\le (2/3^{n+1})(1 + 1/3 + 1/9 + \cdots ) = 1/3^n</math></center> Vilket ger gränsvärdet, <center><math>1/3^n\rightarrow 0 </math> då <math> n \rightarrow \infty</math></center>. Alltså är <math>\varphi(t)</math> kontinuerlig från höger, för att ta reda på om den är kontinuerlig från vänster gör man på samma sätt, men tar <math>t-\delta</math> istället. Gör man det finner man att <math>\varphi(t)</math> är kontinuerlig på hela [0,1]. Att <math>\varphi(t)</math> är kontinuerlig medför att <math>\psi(t)</math> är det också eftersom <math>\psi(t)=3\varphi(t/3) </math>. Därmed är hela beviset klart. ==Fraktaler== Peanos kurva var en av de första [[fraktal]]erna och lade grunden för fraktalteorin som långt efter Peanos upptäckt fått otaliga tillämpningar. Fraktaler används idag inom många vetenskapliga områden t.ex. datorvetenskap och medicin. ==Referenser== *{{citation|first=Hans|last=Sagan|title=Space-Filling Curves|publisher=Springer-Verlag|year=1994|isbn=0387942653|id={{MR|1299533}}}}. ==Externa länkar== * [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/hilbert.shtml Proof of the existence of a bijection] * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Peano.shtml Peano Plane Filling Curves] * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PlaneFillingCurves.shtml Hilbert's and Moore's Plane Filling Curves] * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PeanoComplete.shtml All Peano Plane Filling Curves] [[Kategori:Fraktaler]] [[Kategori:Motexempel i analys]] [[es:Curva de Peano]] [[fr:Courbe de Peano]] [[it:Curva di Peano]] [[he:עקום פאנו]] [[pl:Krzywa Peano]] [[pms:Curva ëd Peano]] [[pt:Curva de Peano]] [[ru:Кривая Пеано]] [[en:Peano curves]]

Tillbaka till Peanos kurva.