Diagonalisering

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Diagonalisering''' är inom [[linjär algebra]] en omvandling av en [[matris (matematik)|matris]] till en [[diagonalmatris]]. En sådan omvandling sker med en [[transformationsmatris]] <math> T </math>, så att <math> A = TDT^{-1} </math> för en matris <math> A </math> och en diagonalmatris <math> D </math>.  Man säger att en matris är '''diagonaliserbar''' om den kan diagonaliseras, med andra ord är en matris <math> A </math> diagonaliserbar om det finns en matris <math> T </math> så att <math> A = TDT^{-1} </math> för en diagonalmatris <math> D </math>.

==Villkor för diagonaliserbarhet==
En matris <math> A </math> med format <math> n \times n </math>, med andra ord en [[linjär avbildning]] från ett [[vektorrum]] till sig själv <math> A:V \to V</math>, är diagonaliserbar [[om och endast om]] summan av [[dimension]]erna av dess [[egenrum]] är <math> n </math>. Detta inträffar då <math> A </math> har <math> n </math> [[egenvektor]]er som är en [[bas (linjär algebra)|bas]] för vektorrummet. Då kan <math> A </math> uttryckas som <math> A = TDT^{-1} </math>, där <math> T </math> har <math> A </math>s egenvektorer som [[kolonnvektor]]er och <math> D </math> har <math> A </math>s egenvärden i diagonalen.

Egenvektorerna till en matris är en bas för hela rummet om alla egenvärden har en [[geometrisk multiplicitet]] som är lika med deras [[algebraisk multiplicitet|algebraiska multiplicitet]], och alltså är en matris diagonaliserbar under dessa förutsättningarna.

Ett tillräckligt (men ej nödvändigt) villkor för att en matris med format <math> n \times n </math> ska ha en bas av egenvektorer är att matrisen har <math> n </math> distinkta egenvärden

===Speciella matriser===
[[Nilpotent matris|Nilpotenta matriser]] är ej diagonaliserbara, då de endast har egenvärdet 0. Detta skulle innebära att diagonalmatrisen skulle bli en [[nollmatris]] och <math> A = TDT^{-1} = 0 </math>, vilket inte är sant.

[[Projektion (matematik)|Projektioner]] är diagonaliserbara, och har talen 1 och 0 i diagonalen.

Enligt [[spektralsatsen]] är [[reella tal|reella]] [[symmetrisk matris|symmetriska matriser]] diagonaliserbara, och deras egenvektorer är [[ortogonal]]a. Samma sak gäller för [[komplexa tal|komplexa]] [[hermitesk matris|hermiteska matriser]] och [[normal matris|normala matriser]]. Då egenvektorerna är ortogonala kan transformationsmatrisen skrivas som en [[ortogonal matris]] i det reella fallet och en [[unitär matris]] i det komplexa fallet, så att en symmetrisk matris kan skrivas <math> A = TDT^T </math>, dvs med en [[transponat|transponerad]] istället för en inverterad transformationsmatris till höger, vilket är mycket lättare att räkna ut.

==Exempeldiagonalisering==
Vi diagonaliserar matrisen <math> A </math>:

:<math>A =
\begin{pmatrix}
10 & -4.5 & -2.5 \\
16 & -7 & 5 \\
12 & -6 & 4
\end{pmatrix}
</math>

Vi beräknar de tre [[egenvärde]]na:

:<math> \lambda_1 = 1 ~~ \lambda_2 = 2 ~~ \lambda_3 = -4 </math>

Vi ser att de tre egenvärdena är distinkta, så vi vet att <math> A </math> är diagonaliserbar. Vi fortsätter med att beräkna [[egenvektor]]ererna till egenvärdena:

:<math>\mathbf{v_1} = 
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
~~
\mathbf{v_2} =
\begin{pmatrix}
2 \\ 3 \\ 1
\end{pmatrix}
~~
\mathbf{v_2} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 2
\end{pmatrix}
</math>

Dessa bildar en bas för vektorrumet. Vi skapar matrisen <math> T </math> från vektorerna <math>\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\mathbf{v_3}</math> och räknar fram dess [[matrisinvers|invers]]. Vi kan nu uttrycka <math> A = TDT^{-1} </math>:

:<math>
\begin{pmatrix}
10 & -4.5 & -2.5 \\
16 & -7 & 5 \\
12 & -6 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
0 & 1 & 2 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-2 & 1.5 & -0.5 \\
2 & -1 & 0 \\
-1 & 0.5 & 0.5
\end{pmatrix}
</math>

==Tillämpningar==
Om en matris <math> A </math> är diagonaliserbar, kan man använda det för att räkna fram potenser <math> A^n </math> effektivt, eftersom:

:<math>A=TDT^{-1}</math>
:<math>A^2 = (TDT^{-1})^2 = TDT^{-1}TDT^{-1} = TDIDT^{-1} = TD^2T^{-1}</math>
:<math>A^n = TD^nT^{-1}</math> 

Likartat kan man definiera [[kvadratrot]]en ur en matris <math> A </math> som:

:<math> \sqrt{A} = T\sqrt{D}T^{-1}</math>

Där diagonalelementen i <math> \sqrt{D} </math>är roten ur <math> D </math>s diagonalelement. Detta ger att:

<math> \sqrt{A}^2 = T\sqrt{D}^2T^{-1} = TDT^{-1} = A</math>

==Se även==
*[[Spektralsatsen]]
*[[Jordans normalform]]

[[Kategori:Linjär algebra]]

[[da:Diagonalisering]]
[[en:Diagonalizable matrix]]
[[es:Matriz diagonalizable]]
[[fi:Diagonalisoituva matriisi]]
[[fr:Matrice diagonalisable]]
[[he:מטריצה לכסינה]]
[[it:Diagonalizzabilità]]
[[nl:Diagonaliseerbare matrix]]
[[pl:Diagonalizacja]]
[[pt:Matriz diagonalizável]]
[[zh:可对角化矩阵]]