Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Cayleys sats''' är en [[matematisk sats]] inom [[gruppteori]] uppkallad efter [[Arthur Cayley]] som säger att varje [[grupp (matematik)|grupp]] ''G'' är [[isomorf]] med någon [[permutationsgrupp]]. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet. ==Bevis== Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en [[undergrupp]] till den [[symmetrisk grupp|symmetriska gruppen]] på ''G'', betecknad Sym(''G''), som är isomorf med ''G''. Tag ett ''a'' i ''G'' och definiera en avbildning <math> f_a: G \to G </math> som <math> f_a(g) = ag </math> för alla ''g'' i ''G''. Bilda <math> H = \{f_a: a \in G \} </math>, som är en delmängd till Sym(''G'').''H'' är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation: :<math> f_af_b(g) = f_a(f_b(g)) = f_a(bg) = abg = f_{ab}(g)</math> dvs, <math> f_af_b = f_{ab} </math>. Det neturala elementet <math> \varepsilon </math> i Sym(''G'') ligger i ''H'' eftersom <math> \varepsilon = f_{1_G} </math>. Inversen till <math> f_a </math> ges av <math> f_{a^{-1}} </math>. Detta ger att ''H'' är en grupp, specifikt en delgrupp till Sym(''G''). ''H'' är i själva verket isomorf med ''G'', ty <math> \phi: G \to H </math> definierad som <math> \phi(a) = f_a </math> är en isomorfi: :<math>\phi</math> är [[injektiv]], ty om <math> \phi(a) = \phi(b) </math> är <math> f_a = f_b </math> som ger <math> f_a(1_G) = f_b(1_G) \Leftrightarrow a = b </math>. :Att <math> \phi </math> är [[surjektiv]] följer ur definitionen. :Att <math> \phi </math> är en [[grupphomomorfi]], dvs att <math> \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) </math> följer ur <math> f_af_b = f_{ab} </math>. De tre egenskaperna ovan ger att <math> \phi </math> är en isomorfi. Alltså är gruppen ''G'' isomorf med permutationsgruppen ''H'', vilket bevisar Cayleys sats. [[Kategori:Gruppteori]] [[Kategori:Teorem]] [[de:Satz von Cayley]] [[en:Cayley's theorem]] [[fi:Cayleyn lause]] [[fr:Théorème de Cayley]] [[he:משפט קיילי]] [[hu:Cayley-tétel]] [[it:Teorema di Cayley]] [[nl:Stelling van Cayley]] [[pl:Twierdzenie Cayleya]] [[zh:凱萊定理]]

Tillbaka till Cayleys sats.