Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Cantors sats''' (efter [[Georg Cantor]]) är en [[sats]] inom [[mängdteori]]n som innebär att det inte finns någon gräns för hur stora [[kardinaltal]] man kan bilda: Om man bildar [[potensmängd]]en av en [[mängd]] (ändlig eller oändlig), så får man alltid en ännu större mängd. Att potensmängden till en mängd alltid är en mängd är innebörden i [[potensmängdsaxiomet]]. Satsen lyder: &#945; < 2^&#945; för alla kardinaltal &#945; == Bevis == Att potensmängden har större kardinalitet innebär att det inte finns någon [[bijektion]] <math>f : X\to P(X)</math>. Vi kommer visa detta genom ett motsägelsebevis. Antag att det finns en sådan avbildning <math>f</math>. Studera ett element i [[bildmängd]]en: <math> B := \{x\in X:x\notin f(x)\}\in P(X) </math>.<math>B</math> är väldefinierad, eftersom <math>f</math> är väldefinierad. Eftersom <math>f</math> är bijektiv finns ett <math>b\in X: f(b) = B</math>. Vi ställer oss frågan <math>b\in B</math>? Antag <math>b\in B</math>. Detta stämmer inte, ty <math>B = f(b)</math> och kravet för att vara med i <math>B</math> är just <math>x\notin f(x)</math>, så <math>b\notin B</math>. Antag <math>b\notin B</math>. Detta kan inte heller stämma, ty <math>B = f(b)</math>, så <math>b</math> uppfyller kravet för att vara med i <math>B</math>, så <math>b\in B</math>. Motsägelse! Vårt ursprungliga antagande att det finns en sådan avbildning <math>f</math> måste därför förkastas, och satsen är bevisad. <math>B</math> är ett exempel på en [[barberarparadoxen|barberarmängd]]. En annan formulering av samma sak är |α| < |P(α)| för alla mängder α. Här står P(α) för potensmängden av α (dvs mängden av alla [[delmängd]]er till α) och |α| betyder kardinaliteten för α (dvs antalet element i α). Ett annat sätt att formulera satsen i ord är att säga att varje mängd har fler delmängder än den har element. [[Aleftal|<math>\alef_0</math>]] är kardinaliteten för de [[naturligt tal|naturliga talen]], den minsta oändliga mängden. Enligt Cantors sats är <math>2^{\alef_0}</math> alltså en större oändlighet. <math>2^{\alef_0}</math> är kardinaliteten för de [[reella tal]]en. Enligt [[kontinuumhypotesen]] är <math>2^{\alef_0} = \alef_1</math>, dvs <math>2^{\alef_0}</math> är den kardinalitet som följer närmast efter <math>\alef_0</math> i storleksordning. I vanlig mängdteori, [[ZFC]], kan man dock inte bevisa att kontinuumhypotesen är vare sig sann eller falsk, det är ett s k [[oavgörbar]]t påstående. [[Kategori:Mängdteori]] [[Kategori:Teorem]] [[ar:مبرهنة كنتور]] [[cs:Cantorova věta]] [[en:Cantor's theorem]] [[es:Teorema de Cantor]] [[fa:قضیه کانتور]] [[fr:Théorème de Cantor]] [[he:משפט קנטור (תורת הקבוצות)]] [[hu:Cantor-tétel]] [[it:Teorema di Cantor]] [[ka:კანტორის თეორემა]] [[nl:Stelling van Cantor]] [[no:Cantors teorem]] [[pl:Twierdzenie Cantora]] [[pt:Teorema de Cantor]] [[ru:Теорема Кантора]] [[th:ทฤษฎีบทของคันทอร์]] [[vi:Định lý đường chéo Cantor]] [[zh:康托尔定理]] [[zh-classical:康托爾定理]]

Tillbaka till Cantors sats.