Baselproblemet

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Baselproblemet''' formulerades 1644 av [[Pietro Mengoli]] och löstes av [[Leonhard Euler]] 1735. [[Bernhard Riemann]], som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas [[Riemanns zeta-funktion]].

Problemet är att finna vad [[serie (matematik)|serie]]n 
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>
konvergerar mot.

== Eulers lösning ==

För att visa detta samband utgick Euler från [[maclaurinutveckling]]en av [[sinus]]:

:<math>\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots</math>

För ekvationen <math>\sin z = 0</math> blir en rot <math>z = 0</math>, och för övriga gäller enligt ovan:

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="100%"
|
:<math>1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \frac{z^6}{7!} + \cdots = 0</math>
|align="right"|(1)
|}

Med variabelbytet <math>w = z^2</math> får vi följande ekvation:

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="100%"
|
:<math>1 - \frac{w}{3!} + \frac{w^2}{5!} - \frac{w^3}{7!} + \cdots = 0</math>
|align="right"|(2)
|}

De nollskilda lösningarna till <math>\sin z = 0</math> är <math>z = \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots</math> vilket ger <math>w_1 = \pi^2, w_2 = (2\pi)^2, w_3 = (3\pi)^2, \ldots</math> som lösningar till ekvationen ovan.


Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om <math>x_{1}, x_{1}, \ldots, x_{n}</math> är rötter till ekvationen <math>x^n + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}x + a_n = 0</math> gäller:

:<math>\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n} = -\frac{a_{n-1}}{a_n}</math>

Tillsammans med ekvation 2 får vi då (<math>a_{n-1} = -\frac{1}{6}</math> och <math>a_n = 1</math>):

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" width="100%"
|
:<math>\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{(2\pi)^2} + \frac{1}{(3\pi)^2} + \cdots = \frac{1}{6}</math>
|align="right"|(3)
|}

Genom att multiplicera detta med <math>\pi^2</math> följer att

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math> 

==Referenser==
*Boris Sjöberg. ''Från Euklides till Hilbert''. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9.

[[Kategori:Matematisk analys]]

[[ca:Problema de Basilea]]
[[de:Basler Problem]]
[[en:Basel problem]]
[[es:Problema de Basilea]]
[[fr:Problème de Bâle]]
[[he:בעיית בזל]]
[[it:Problema di Basilea]]
[[ja:バーゼル問題]]
[[nl:Bazel-probleem]]
[[no:Baselproblemet]]
[[pl:Problem bazylejski]]
[[pt:Problema de Basileia]]
[[sr:Базелски проблем]]
[[zh:巴塞尔问题]]