Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>Inom matematik är en '''avbildning''', T, från en [[mängd]] X till en mängd Y, en hopparning av vissa [[element]] från X med vissa element från Y. Denna parning är sådan att ett X-element paras ihop med bara ett Y-element; X-elementet x paras ihop med Y-elementet Tx. *De X-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens [[definitionsmängd]] D(T). I allmänhet är detta en [[delmängd]] av mängden X: ::<math>D(T) \subseteq X.</math> *De Y-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens [[värdemängd]] R(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden Y: ::<math>R(T) \subseteq Y.</math> *Om definitionsmängden utgör hela mängden X säger man att avbildningen är [[injektiv]]: ::<math>D(T) \,= X</math> *Om värdemängden utgör hela Y-mängden säger man att avbildningen är [[surjektiv]]: ::<math>R(T) \,= Y.</math> *En avbildning som är både injektiv och surjektiv kallar man en [[bijektiv]] avbildning. En [[operator]] är en avbildning där mängden X är ett [[vektorrum]] och där mängden Y också är ett vektorrum. En [[funktional]] är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och mängden Y är en delmängd av de [[komplexa tal]]en. Ofta används begreppet '''funktion''' synonymt med avbildning, men ibland görs åtskillnad mellan dessa begrepp. I dessa fall menas med en funktion en avbildning där mängden X kan vara vad som helst, men där mängden Y är en delmängd av de komplexa talen. Mängden av de komplexa talen är ett vektorrum, så en funktional är en särskild slags operator och även en särskild slags funktion. ==Exempel== '''Operator''': Låt X vara mängden av alla [[derivata|deriverbar]]a och reellvärda funktioner på det [[sluten mängd|slutna]] [[intervall]]et [0,1] och låt Y vara mängden av alla [[kontinuerlig]]a reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]: ::<math>X = \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R});</math> ::<math>Y = \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).</math> Ett exempel på en operator är den avbildning som parar ihop en deriverbar reellvärd funktion x(t) med dess [[derivata]] (som är en kontinuerlig funktion): ::<math>Tx = \frac{dx}{dt}, \quad x \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}).</math> '''Funktional''': Låt X vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]. Ett exempel på en funktional är den bestämda [[integral]]en över intervallet [0,1]: ::<math>Tx = \int_0^1 x(t) \, dt, \qquad x \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).</math> '''Funktion''': Låt X vara det slutna intervallet [0,1] och Y också vara samma intervall. Ett exempel på en funktion är: ::<math>T(x) \,= x^2, \qquad x \in [0,1].</math> (När det gäller funktioner är det brukligt att skriva T(x) istället för Tx.) ==Källor== *G. B. Folland, ''Real Analysis: Modern techniques and their applications'', Second edition (1999), Wiley-Interscience *E. Kreyszig, ''Introductory functional analysis with applications'', (1978), Wiley [[Kategori:Linjär algebra]] [[Kategori:Matematisk analys]] [[Kategori:Funktionalanalys]] [[bg:Изображение (алгебра)]] [[cs:Zobrazení (matematika)]] [[da:Afbildning (matematik)]] [[en:Map (mathematics)]] [[is:Vörpun]] [[ja:写像]] [[nl:Afbeelding (wiskunde)]] [[sl:Preslikava]] [[vi:Ánh xạ]] [[zh:映射]]

Tillbaka till Avbildning.