Ahlfors-regelbundet mått

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>Ett '''Ahlfors-regelbundet mått''' är inom [[matematik]] ett [[mått (matematik)|mått]] i ett metriskt rum som beter sig som [[Lebesguemått]]et. Måttet är uppkallat efter finska matematikern [[Lars Ahlfors]].

== Definition ==
Låt <math>(X,d)\,</math> vara ett [[metriskt rum]]. Ett [[Radonmått]] <math>\mu\,</math> i <math>X\,</math> är ''s''-'''Ahlfors-regelbundet''' om det finns <math>s > 0\,</math> och <math>c > 0\,</math> så att

:<math>c^{-1} r^s \leq \mu(B_r(x)) \leq cr^s</math>

för alla <math>x \in \R^n</math> och <math>r > 0\,</math>. <math> B_r(x) </math> är [[boll (matematik)|bollen]] med mittpunkt ''x'' och radie ''r''.

== Exempel ==
Det ''n''-dimensionella [[Lebesguemått]]et är ''n''-Ahlfors-regelbundet eftersom det är ett [[Radonmått]] och för alla <math>x \in \R^n</math> och <math>r > 0 \,</math>

:<math>\mathcal{L}_n (B_r(x)) = c(n)r^n</math>

där <math>c(n):=\mathcal{L}_n (B_1(0)) </math>.

== Geometrisk struktur och  Ahlfors-regelbundet rummet==
Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum, är detta måttstrukturen i det metriska rummet och ''storleken'' beter sig på samma sätt som i <math>\R^n\,</math> .

Till exempel, om det finns ett ''s''-Ahlfors-regelbundet mått i det metriska rummet ''(X,d)'' så är

* [[Hausdorffdimension]]en <math>\dim_\mathcal{H} (X) = s\,</math>,

* En mängd i ''X'' är [[Kompakt mängd|kompakt]] om och endast om den är [[Sluten mängd|sluten]] och [[begränsad mängd|begränsad]],

* Man kan skala måttet för mindre mängder: <math>\mu (B_{2r}(x)) \leq c \mu(B_r(x))</math>,

precis som i <math>\R^n\,</math>.

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum ''X'' så är ''X'' '''Ahlfors-regelbundet rummet'''. Därför till exempel <math>\R^n</math> är Ahlfors-regelbundet.

== Se även ==
*[[Mått]]
*[[Metriskt rum]]

== Referenser ==
* P. Halmos, ''Measure theory'', D. van Nostrand and Co., 1950.

[[Kategori:Måtteori]]