Radrum

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif
Raderna i en matris.

Radrummet till en matris är i linjär algebra alla möjliga linjärkombinationer av matrisens radvektorer. Radrummet till en m × n-matris är ett underrum till ett n-dimensionellt vektorrum.

Radrummet och kolonnrummet har alltid samma dimension, denna dimension kallas matrisens rang.

Innehåll

Definition

Låt A vara en m × n-matris med radvektorerna \textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m , då en linjärkombination av dessa vektorer är en vektor på formen

\textbf{v} = a_1\textbf{r}_1+a_2\textbf{r}_2+...+a_m\textbf{r}_m

där a1,a2,...,am är skalärer. Mängden av alla linjärkombinationer är radrummet till matrisen. Annorlunda uttryckt spänner radvektorerna i matrisen upp matrisens radrum.

Bas för radrum

En bas för radrummet till en m × n-matris kan fås genom att reducera matrisen till en trappstegsmatris och sedan plocka ut de nollskilda raderna.

Exempel

Om man vill ha en bas till radrummet till matrisen

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}

reducerar man den till trappstegsform:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

och får att radrummet spänns upp av vektorerna (1,2,1) och (0,1,4).

Relation till nollrummet

Nollrummet till en matris är de vektorer som avbildas på en nollvektor av matrisen, med andra ord är en vektor \textbf{x} i matrisen A:s nollrum om A\textbf{x} = 0 . Från reglerna för matrismultiplikation följer det att A\textbf{x} = 0 om och endast om skalärprodukten av \textbf{x} med varje radvektor \textbf{r}_1, \textbf{r}_2, ..., \textbf{r}_m är noll, dvs:

\langle \textbf{x} | \textbf{r}_i \rangle = 0 ~~ 1 \leq i \leq m.

Med andra ord är vektorerna i nollrummet ortogonala mot vektorerna i radrummet, så att radrummet är det ortogonala komplementet till nollrummet.

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Radrum"
Personliga verktyg