Kolonnrum

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif
Kolonnerna i en matris.

Ett kolonnrum är i linjär algebra alla linjärkombinationer av kolonnvektorerna i en matris. Om A är en m × n-matris är A:s kolonnrum ett underrum till ett m-dimensionellt vektorrum. Dimensionen av kolonnrummet kallas för matrisens rang.

Definition

Låt A vara en matris med kolonnvektorerna \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n . Kolonnrummet är då alla vektorer \mathbf{u} som kan skrivas som

\mathbf{u} = b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2 + ... + b_n\mathbf{v}_n .

Detta kan istället uttryckas som en matris-vektor-multiplikation:

A \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2 + ... + b_n\mathbf{v}_n

med andra ord är kolonnrummet samma sak som värderummet till den linjära avbildning som matrisen representerar.

Exempel

Låt A vara

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

då varje matris-vektor-multiplikation leder till en vektor på formen:

A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ 2x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

där man kan urläsa att man kan låta andra koordinaten variera fritt, men första koordinaten måste vara lika med den tredje. Detta beskriver ett plan med ekvationen x − z = 0, som alltså är kolonnrummet.

Bas för kolonnrum

Kolonnvektorerna i matrisen A spänner upp kolonnrummet, men bildar inte nödvändigtvis en bas då kolonnerna kan vara linjärt beroende. Man kan dock använda Gausselimination för att överföra matrisen till en trappstegsmatris, då man kan identifiera vilka kolonner som är beroende.

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Kolonnrum"
Personliga verktyg