Matrisexponentialfunktion

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Matrisexponentialfunktionen är inom matematiken en utökning av exponentialfunktionen från komplexa tal till att gälla även kvadratiska matriser, så att man får en matrisfunktion.

Innehåll

Definition

Exponentialfunktionen för matriser definieras genom exponentialfunktionens Maclaurinutveckling:

e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}X^k

Denna serie konvergerar för alla matriser, A.

Egenskaper

Beräkning

Diagonalmatriser

Om D är diagonal med diagonelelementen dii är eD en diagonalmatris med diagonalelementen  e^{d_{ii}} , dvs:

 D =
\begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}
\end{pmatrix}
 e^D =
\begin{pmatrix}
e^{d_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & e^{d_{22}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & e^{d_{nn}}
\end{pmatrix}

Detta kommer av att en diagonalmatris upphöjt till något tal blir en diagonalmatris med diagonalementen upphöjda till detta tal (vilket inses lätt om man tänker på hur matrismultiplikation funkar). Man kan då betrakta Maclaurinutvecklingen av matrisen varje diagonalelement för sig, vilket per definition blir ex för diagonalelementet x.

Nilpotenta matriser

Om N är en nilpotent matris, dvs Nk = 0 för något heltal k, definieras eN som:

 e^N = I + N + \frac{1}{2!}N^2 + \frac{1}{3!}N^3 + ... + \frac{1}{(k-1)!}N^{k-1}

Dvs, Maclaurinutvecklingen av eX tills att det bara blir nollmatriser.

Generalisering

Om matrisen har element som är reella eller komplexa tal kan man använda Jordans normalform för att beräkna eA för alla kvadratiska matriser A. En kvadratisk matris kan då skrivas A = TJT − 1 där J är en matris på Jordans normalform. Matrisen J kan skrivas J = D + N för en diagonal matris D och en nilpotent matris N. Så att:

 e^A = e^{TJT^{-1}} = Te^JT^{-1} = Te^{D+N}T^{-1} = Te^De^NT^{-1}

Se även

Personliga verktyg