Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess är en algoritm för att generera en ortonormerad (ortogonal och normerad) bas ur en given mängd vektorer tillhörande ett inre produktrum med en skalärprodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$ .

Metoden är uppkallad efter Erhard Schmidt och Jørgen Pedersen Gram, men dök upp tidigare i verk av Laplace och Cauchy. Iwasawafaktorisering är en generalisering av metoden.

Algoritmen

Steg 0: Ta bort vektorer som gör att givna mängden är linjärt oberoende ur den givna mängden. Antag att denna eventuellt ändrade mängd vektorer är $\{ \bar{v_0}, \ldots \bar{v}_{n-1} \}$ och låt $\underline{f} _0 = \left\{ \frac{ 1 }{ | \bar{v}_0 | } \bar{v}_0 \right\}$ .

Steg i (i = $1,2,\ldots$ ): Antag att en bas $\underline{f} _{i-1} = \{ f_0, \ldots f_{i-1} \}$ har konstruerats genom att ha använt vektorerna $\bar{v} _0 \ldots \bar{v}_{i-1}$ . Om $i = n$ så är algoritmen färdig. Låt $\bar{u} = \bar{v} _i - \sum _{k=0} ^{i-1} \frac{1}{ |\bar{v}_{i-1}||\bar{f}_k| } \bar{f}_k$ och sätt $\underline{f} _i = \underline{f} _{i-1} \cup \{ \frac{1}{|\bar{u}|} \bar{u} \}$ .

Här har $| \bar{v} |$ använts för att beteckna $\sqrt{ \langle \bar{v}, \bar{v} \rangle}$ .

Algoritmen ger som resultat den ortonormerade mängden $\underline{f} _n = \{ \bar{f} _0, \ldots \bar{f} _n\}$ . Att algoritmen vid steg i, $i > 0$ kräver en linjärt oberoende mängd vektorer inses vid steget $\bar{u} = \bar{v} _i - \sum _{k=0} ^{i-1} \frac{1}{ |\bar{v}_{i-1}||\bar{f}_k| } \bar{f}_k$ . Om $\bar{v} _i$ här är linjärt beroende med $\underline{f} _{i-1}$ , så är $\bar{u} = 0 \Leftrightarrow |\bar{u} | =0$ , och uttrycket $\underline{f} _i = \underline{f} _{i-1} \cup \{ \frac{1}{|\bar{u}|} \bar{u} \}$ saknar mening.

Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess

Från Rilpedia

Algoritmen

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk