Areasatsen

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Areasatsen är en matematisk sats för att beräkna arean hos en godtycklig triangel då två sidor och en vinkel är kända.

Antag att vi har en triangel med sidlängderna a, b och c. Dessutom betecknar vi vinklarna som står mittemot dessa sidor för α, β respektive γ.

Triangle.Labels.svg


Då gäller att arean för triangeln kan beräknas med någon av formlerna:

Arean = {a b \sin\gamma \over 2}
Arean = {a c \sin\beta \over 2}
Arean = {b c \sin\alpha \over 2}

Härledning

Triangle.TrigArea.png

Titta på figuren. Arean av en triangel är lika med basen multiplicerat med höjden genom två, det vill säga:

A(tri) = {b h \over2}

Med hjälp av trigonometri kan vi teckna följande samband mellan höjden, sidan a och vinkeln γ :

\sin\gamma = {h \over a}

Vilket är ekvivalent med h = asinγ

Insättning av denna ekvation i den första ger:

A(tri) = {a b \sin\gamma \over2}

Det vill säga Areasatsen.

Om vinkeln är trubbig

Om vinkeln γ är trubbig gäller inte ovanstående. Man kan då med liknande resonemang komma fram till att:

A(tri) = {a b \sin(180 - \gamma)\over2}

Men, då sin(180 − v) = sinv leder även detta fram till att Areasatsen stämmer.


Se även

Personliga verktyg