Poincarés förmodan
Från Rilpedia
Inom matematiken är Poincarés förmodan en matematisk förmodan inom algebraisk topologi som behandlar en karakteristisk egenskap hos så kallade 3-sfärer som särskiljer dessa från andra tre-dimensionella mångfalder.
Förmodan lyder som följande:
- Varje stängd, enkelt sammanhängande 3-dimensionell mångfald är homeomorf med 3-sfären.
Den postulerades år 1904 av Henri Poincaré och efter många försök att bevisa den under 1900-talet utsågs den till ett av Millennieproblemen, men år 2003 lyckades den ryske matematikern Grigori Perelman lägga fram ett bevis som efter fyra år av granskning har visats stämma.
Innehåll |
Beskrivning
En 3-sfär är inom matematiken ytan på ett klot i fyra dimensioner och eftersom det är väldigt svårt att föreställa sig fler än 3 dimensioner så är det lättare att beskriva problemet i 2 dimensioner. Med stängd menas att mångfalden är ändlig men saknar gränser (som ytan på ett klot). Enkelt sammanhängande betyder att mångfalden är ett stycke och saknar hål. Poincarés förmodan säger då att om man har en tre-dimensionell mångfald som är kompakt och enkelt sammhängande så kommer denna alltid att kunna deformeras till en 3-sfär. I två dimensioner skulle man då kunna tänka sig en skrynklig ballong (utan öppning men som ändå går att blåsa upp) som har berg och dalar på sin yta men om man blåser upp ballongen lagom mycket kommer tillslut alla deformationer försvinna och så kommer man ha ett perfekt klot. Man kan även se det på många andra olika sätt t.ex. att om man har en cirkel på ytan så kommer man alltid kunna dra ihop cirkeln till en punkt.
Historia
Poincaré
I början av 1900-talet arbetade Henri Poincare med grunderna till topologin och var då särskilt intresserad av de topologiska egenskaperna hos sfären. Poincaré ansåg år 1900 att han hade tagit fram en metod för att avgöra om en viss tre-dimensionell mångfald var en 3-sfär men år 1904 lyckades han motbevisa sitt påstående. I samma avhandling som han presenterat sitt motbevis tog han upp det vi idag kallar Poincarés förmodan. När Poincarés formulerade problemet tog han aldrig upp om denna egenskap skulle karakterisera 3-sfären. Den första formuleringen av Poincarés förmodan lydde som följande:
- Studera en kompakt 3-dimensionell mångfald V utan gränser. Är det möjligt att fundamentralgruppen till V är trivial även om inte V är homeomorf med 3-sfären?
Standardformen man använder idag ser ut på följande sätt:
- Varje stängd, enkelt sammanhängande 3-dimensionell mångfald är homeomorf med 3-sfären.
Tidigare lösningsförslag
Flera försök att lösa problemet gjorde under 1900-talet men även om ingen lyckades var det många som kom långt på vägen och lyckades presentera andra intressanta resultat. 1930 la J. H. C. Whitehead fram ett bevis som han senare drog tillbaka, han lyckades dock hitta enkelt sammanhängande och icke-kompakta 3-mångfalder som inte var homeomorfa med 3-sfären. På 1950 och 1960-talet arbetade flera matematiker med att lösa problemet, bland annat RH Bing som lyckades bevisa en svag version av Poincarés förmodan: om varje enkelt sammanhängande kurva
Hamilton och Perelman
Richard Hamilton presenterade 1982 Ricci flödet på en mångfald, en metod för att deformera mångfalder, och med hjälp av Ricci flöde kunde han bevisa några specialfall av Poincarés förmodan. Hamilton forsatte att utöka sitt arbeta men lyckades aldrig bevisa Poincarés förmodan. Det var först under 2002 och 2003 Grigori Perelman la upp tre arbeten på arXiv där han presenterade en skiss för Poincarés förmodan.
Under sommaren 2006 presenterade flera grupper avhandlingar där de luckor som fanns kvar i beviset fylldes i. Alla grupper fann dock att de luckor som fanns kunde fyllas i med hjälp av Perelmans egna metoder.
Lösningen till Poincarés förmodan
Perelmans lösning går ut på att använda Hamiltons Ricci flöde. Med hjälp av Ricci flöde kan man deformera mångfalder och de mångfalder som är kompakta och enkelt sammanhängande kommer efter ett ändligt antal steg deformeras till 3-sfären. Hamilton visade detta för flera mångfalder men inte för alla. Problemet är att Ricci flödet att man kommer fram till punkter på mångfalden, singulariteter, där Ricci flödet slutar att fungera. Hamilton ville då dela på mångfalden för att ta bort singulariteten och sedan klistra ihop den igen, problemet var att han inte visste vilka olika singulariteter som kunde uppstå. Perelman kunde då visa att dessa singulariteter helt enkelt är cylindrar som sträcker sig ut oändligt långt i båda riktningar. Efter att ha utvecklat diverse mindre verktyg för att hantera detta kunde tillslut Perelman deformera en godtycklig kompakt och enkelt sammanhängande 3-mångfald med hjälp av Ricci flöde, klippa bort singulariteter när de uppstod och fortsätta köra Ricci flödet. Han hade då tillslut endast 3-sfärer och kunde sedan köra hela processen baklänges för att få fram original mångfalden och därmed visa att mångfalden och 3-sfären är homeomorfa. Perelman lyckades också bevisa att det krävs ett ändligt antal steg för denna process, Ricci flödet kommer göra att området man bearbetar är så litet att man tillslut endast kan dela på 3-sfärer.
I andra dimensioner
Det är möjligt att utan större svårigheter bevisa förmodan i 2 dimensioner (för 2-sfären) med hjälp av klassificeringen av slutna ytor.
I flera dimensioner kan man göra en förmodan, kallad den generaliserade Poincarés förmodan som motsvarar Poincarés förmodan men för högre dimensioner. Den lyder som följande:
- Varje homotopi sfär (en sluten n-mångfald som är homotop med n-sfären) är isomorfisk med n-sfären i den valda kategorin, med andra ord homeomorf, diffeomorf eller PL-isomorf.
Man lyckades bevisa detta topologiskt för n=4 och högre innan Perelmans bevis för n=3. För andra klasser av mångfalder stämmer det dock inte för alla dimensioner (t.ex. inom differential topologi är den generellt falsk men sann för n=1,2,3,5 och 6 och man vet inte för n=4).
Man trodde länge att den generaliserade förmodan var falsk för högre dimensioner men 1961 lyckades Stephen Smale bevisa att förmodan för fem dimensioner och högre var sann. Michael Freedman lyckades sedan 1982 att bevisa att förmodan för fyra dimensioner också var sann. Detta gjorde att matematiker började tro att förmodan faktiskt var sann även för tre dimensioner.
Användningsområden
Poincarés förmodan anses för det mesta var ett rent matematiskt problem utan tillämpningar, den område man dock tror att det kan vara av nytta inom är kosmologi och astrofysik där man kan utnyttja det då man arbetar med hur universums uppbyggnad. Det som betraktas viktigt med problemet och inte minst lösningen av problemet är metoderna, t.ex. så bevisade Perelman Thurstons geometriseringsförmodan samtidigt som han la fram bevisen för Poincarés förmodan. Metoderna banar väg för att lösa andra problem och hantera befientliga på ett bättre sätt. Sen kan det mycket väl i framtiden komma fler användningsområden, då t.ex. naturvetenskaperna utvecklats mer.
Se även
Källor
”What is the Poincaré conjecture?” (på Engelska). seedmagazine.com. 25 Augusti 2006. http://seedmagazine.com/content/article/what_is_the_poincare_conjecture/. Läst 8 April 2009.
[|E. Weisstein]. ”Poincaré Conjecture” (på Engelska). MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html. Läst 8 April 2009.
Mark Brittenham (21 Januari 2004). ”The Poincare Conjecture: Its Past, Present, and Future” (på Engelska). University of Nebraska. http://www.math.unl.edu/~mbrittenham2/ldt/poincare.html. Läst 6 Maj 2009.
Simon Pampena (1 Mars 2007). ”Catalyst: Poincare's Conjecture” (på Engelska). ABC. http://www.abc.net.au/catalyst/stories/s1860445.htm. Läst 6 Maj 2009.
Dennis Overbye (15 Augusti 2006). ”Elusive Proof, Elusive Prover: A New Mathematical Mystery” (på Engelska). The New York Times. http://www.nytimes.com/2006/08/15/science/15math.html?pagewanted=2&_r=1. Läst 11 Maj 2009.
Externa länkar
Beskrivning av Poincarés förmodan av Clay matematik institut (engelska).
