Kleinflaska
Från Rilpedia
Kleinflaska eller Kleinyta som det först kallades, är en konstruktion som fascinerat människor sedan den beskrevs första gången år 1882 av matematikern Felix Klein efter vilken den också är uppkallad. Kleinflaska är egentligen inte en flaska i ordets rätta mening utan en yta där man antingen kan se det som att den saknar yttre eller inre yta, eller där den tänkta inre/yttre ytan är samma. Många känner till så kallade "möbiusband" ett band med bara en yta och en kantlinje. Ett möbiusband konstrueras till exempel genom att ta en rektangulär remsa vrida denna ett halvt varv och därefter ansluta ändarna. Man kan då enkelt "bevisa" att den bara har en kontinuerlig yta genom att dra ett streck på "alla" ytor utan att lyfta pennan (något du inte kan göra på ett vanligt band).
Innehåll |
Utseende
En Kleinflaska är en ickeorienterbar yta. En sådan fenomen kan förklaras som att en yta som har en väg som gör att en tänkt vägfarare kommer tillbaka till samma punkt men spegelvänt. Ytan skiljer sig då till exempel ifrån en sfär, där du om du rör dig i en riktning kommer tillbaka till samma punk men inte spegelvänt. Att den tänkte vägfararen skulle återkomma spegelvänt om han går längs den ickeorienterbara ytan låter måhända väldigt konstigt men det kan enkelt förklaras genom att jämföra ett möbiusband med en sfär eller ett vanligt band. Går vägfararen ett varv längs en sfär, kan man lätt se framför sig att vägfararen går ett var runt jorden och återkommer till samma ställe. Går vägfararen ett varv längs ett möbiusband återkommer han till samma punkt men på andra sidan bandet det vill säga spegelvänt. En kleinflaska fungerar likadant men den har till skillnad från möbiusbandet, ingen kantlinje (vilket en sfär inte heller har).
Konstruktion
Nedan visas ett exempel på hur en kleinflaska kan skapas. Man använder sig oftast utav flera cylindrar som man sätter ihop ungefär som nedan. Problemet med detta är då att ytorna(ytan) skär varrandra. En "verklig" kleinflaska har inga skärningar med sig själv. Detta kan dock endast göras i fjärde dimensionen så vi som lever i tredje dimensionen får nöja oss med att ha en Kleinflaska som skär sig själv (utan att den för den delen blir mindre intressant) En kleinflaska kan konstrueras genom att ta två möbiusband och länka ihop dessa. Kleinflaskan kan sedan givetvis också sönderdelas i möbiusband.
En torus är absolut ingen kleinflaska men vi kan dock skapa en kleinflaska utav en torus (men det är mer korrekt att säga att man gör en kleinflaska utifrån en cylinder)
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Denna form av kleinflaska är tämligen svår och krånglig att uttrycka rent matematiskt men nedan är en annan variant är den "8"-formiga kleinflaskan.
 |
Denna variant kan även uttryckas relativt enkelt matematiskt genom parametrisering av x,y och z axlarna
![x(u, v) = [a+cos(\left( \frac{1}{2} \right)u)sin(v) - sin(\left( \frac{1}{2} \right)u)sin(2v)] cos(u)]](/w/images/sv.rilpedia.org/math/3/3/c/33c90d235d840dcedf155dacf1e165e6.png)
![y(u, v) = [a+cos(\left( \frac{1}{2} \right)u)sin(v) - sin(\left( \frac{1}{2} \right)u)sin(2v)] cos(u)]](/w/images/sv.rilpedia.org/math/e/b/e/ebe5c675412e808684eca46e6619a7f5.png)
där ![u\in[0, 2\pi], v\in [0,2\pi]](/w/images/sv.rilpedia.org/math/1/6/9/169fd3d9a20808d0c7b5ea4385155571.png)
och a > 2
(av Gray (1997)[1] Parametriseringen publicerades i hans bok "Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces")
Spännande fakta
Kleinflaskan hette egentligen Kleinsche Fläche som betyder ungefär Kleinyta. Felöversättningen blev dock permanent så Kleinytan kallas nu flaska även på det tyska språket.
Kleinflaskan är lokalt endast tvådimensionell men i sin helhet fyrdimensionell
Man kan använda kleinflaskan som en termometer genom att fylla den delvis med vatten. Då temperaturen ändras kommer trycket inuti kleinflaskan öka eller minska i volym och då ändra på vattennivån i "röret". Rätt markerat och avvägt för avdunstning är detta en möjlig termometer.
Källor
- http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html
- http://www.carliner-remes.com/jacob/math/project/math.htm
Se även
- Möbiusband
- Wikimedia Commons har media som rör Kleinflaska
