Funktor

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Inom kategoriteorin i matematik är en funktor en tillordning som på ett naturligt sätt till varje objekt i en kategori associerar ett annat objekt.

Inledning

En mycket vanlig konstruktion i matematiken är att man till en strukur av en viss typ associerar en annan struktur. Några exempel på sådana konstruktioner är:

Till ett topologiskt rum associerar man dess homologigrupper
Till en ring associerar man dess maximala fraktionsring
Till en grupp associerar man dess centrum
Till ett komplex associerar man dess homologikomplex
Givet en abelsk grupp N, associerar man till varje abelsk grupp gruppen av homomorfier Hom(M,N)

Om en sådan association är sådan att avbildningar mellan två strukturer på ett naturligt sätt inducerar avbildningar mellan de associerade strukurererna, kallas associationen för en funktor. Mer allmänt kan man definiera funktorer mellan två kategorier Alla associationer i listan ovan är funktorer.

Definition

Givet två kategorier C,D, så är en (kovariant) funktor F ett par av tillordningar $(F 0, F 1)$ där $F 0$ avbildar objekt i C på objekt i D och $F 1$ avbildar morfier i C på morfier i D sådan att följande är sant:

Om $c,c'\in C$ och $\phi:c\rightarrow c'$ så gäller $F_1(\phi):F_0(c)\rightarrow F_0(c')$
Om $\phi_2=\phi_1\circ\phi_0$ så $F_1(\phi_2)=F_1(\phi_1)\circ F_1(\phi_0)$