Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>[[Bild:Tangent bundle.svg|thumb|Tangentknippe till en cirkel]] Inom [[matematik]]en kan man till varje [[differentierbar mångfald]] ''M'' associera '''tangentknippet''' (eller tangentbunten) ''TM''. ''TM'' är den n[[disjunkt union|disjunkta unionen]] av [[tangentrum]]men i varje punkt på ''M''; :<math>TM = \coprod_{x\in M}T_x(M).</math> Ett element i ''TM'' är ett par (''x'',''v'') där ''x'' &isin; ''M'' och ''v'' &isin; ''T''_''x''''M'', [[tangentrummet]] i ''x''. Det finns en naturlig projektionsavbildning :<math>\pi\colon TM \to M\,</math> som projicerar (''x'',''v'') till baspunkten ''x''. ==Topologi och slät struktur== Tangentknippet har en naturlig [[topologi]] (som ''inte'' är [[uniontopologi]]n) samt en [[differentierbar struktur]] så att tangentknippet själv är en mångfald, och projektionsavbildningen är en differentierbar avbildning. [[Dimensionen]] för ''TM'' är dubbla dimensionen för ''M''. Tangentrummet för ett ''n''-dimensionellt vektorrum i en punkt är självt ett ''n''-dimensionellt vektorrum. Som mängd är därför ''TM'' lika med to ''M'' &times; '''R'''^''n''. Som en mångfald är emellertid ''TM'' inte alltid [[diffeomorf]] med produktmångfalden ''M'' &times; '''R'''^''n''. Om så är fallet sägs tangentknippet vara ''trivialt''. På samma sätt som mångfalder är lokalt modellerade på euklidiska rum, är tangentknippen till mångfalder lokalt modellerade på ''M'' &times; '''R'''^''n''. Om ''M'' är en ''n''-dimensionell mångfald, så finns per definition en [[atlas (topologi)|atlas]] av kartor (''U''_&alpha;, &phi;_&alpha;) där ''U''_&alpha; är öppna mängder i ''M'' och :<math>\phi_\alpha\colon U_\alpha \to \mathbb R^n</math> är [[homeomorfi]]er. Dessa lokala koordinter på ''U'' ger en isomorfi mellan ''T''_''x''''M'' och '''R'''^''n'' för varje ''x'' &isin; ''U''. Vi kan sedan definiera en avbildning :<math>\tilde\phi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha) \to \mathbb R^{2n}</math> genom :<math>\tilde\phi_\alpha(x, v^i\partial_i) = (\phi_\alpha(x), v^1, \cdots, v^n)</math> Dessa avbildningar används för att definiera topologin och den differentierbara strukturen på ''TM''. En delmängd ''A'' till ''TM'' är öppen [[omm]] <math>\tilde\phi_\alpha(A\cap U_\alpha)</math> är öppen i '''R'''^2''n'' för varje &alpha;. Dessa avbildningar är nu även homeomorfier mellan öppna delmängder till ''TM'' och '''R'''^2''n'' och utgör därför kartor för en differentierbar struktur på ''TM''. Transitionsavbildningarna mellan två överlappande kartor <math>U_\alpha,U_\beta)</math> induceras av [[Jacobian|Jacobimatriserna]] för de associaterade koordinattransformationerna och är därför differentierbara avbildningar mellan öppna delmängder till '''R'''^2''n''. Tangentknippet är ett exempel på en mer allmän konstruktion som kallas [[vektorknippe]], eller vektorbunt, som i sin tur är ett specialfall av begreppet [[fiberknippe]]. Tangentknippet på en ''n''-dimensionell mångfald kan karakteriseras som det ''n''-dimensionella vektorknippe vars transitionsfunktioner är [[Jacobian|Jacobimatriserna]] för de associerade koordinattransformationerna. ==Exempel== Det enkaste exemplet ges av '''R'''^''n''. I detta fall är tangentknippet trivialt och isomorft med '''R'''^2''n''. Ett annat enkelt exempel är [[enhetscirkeln]], ''S''¹. Tangentknippet till cirkeln är också trivialt och isomorft med ''S''¹ &times; '''R'''. Geometriskt är detta en [[cylinder]] med oändlig höjd. De enda tangentknippen som enkelt kan visualiseras är de för den reella linjen '''R''' och enhetscirkeln ''S''¹. Båda dessa är triviala. För 2-dimensionella mångfalder är tangentknippet 4-dimensionellt och därför inte enkelt visualiserbart. Det kanske enklaste exemplet på ett icke-trivialt tangentknippe är tangentknippet för enhetssfären ''S''². Att tangentknippet till ''S''² är icke-trivialt följer av [[satsen om den håriga bollen]]. ==Se även== * [[vektorfält]] * [[vektorknippe]] * [[kotangentknippe]] ==Externa länkar== * [http://mathworld.wolfram.com/TangentBundle.html MathWorld: Tangent Bundle] * [http://planetmath.org/encyclopedia/TangentBundle.html PlanetMath: Tangent Bundle] ==Referenser== * John M. Lee, ''Introduction to Smooth Manifolds'', (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3. * Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2 * [[Ralph Abraham]] and Jarrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X [[Kategori:Differentialgeometri]] [[Kategori:Algebraisk geometri]] [[de:Tangentialbündel]] [[en:Tangent bundle]] [[es:Fibrado tangente]] [[fr:Fibré tangent]] [[it:Fibrato tangente]] [[ko:접다발]] [[nl:Raakbundel]] [[pl:Wiązka styczna]] [[pt:Fibrado tangente]] [[ru:Касательное расслоение]] [[zh:切丛]]

Tillbaka till Tangentknippe.