Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Skalärprodukt''' inom [[vektoralgebra]]n är en [[inre produkt]], definierad på <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n</math>, en [[bilinjär]] funktion av två [[vektor]]er <math>\mathbf a</math> och <math>\mathbf b</math> (eller <math>\vec a</math> och <math>\vec b</math>) som definieras som produkten av [[belopp]]en (längderna) av vektorerna och vinkeln mellan dem, enligt :<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \alpha </math> där <math>\alpha</math> är den minsta vinkeln mellan vektorerna. Om '''b''' har längden 1, kan detta tolkas som att skalärprodukten ger längden av '''a''':s projektion på '''b'''. Definitionen ger att om skalärprodukten mellan två nollskilda vektorer '''a''' och '''b''' är noll så måste <math>\cos \alpha=0 \,</math>, dvs vektorerna ''a'' och ''b'' är vinkelräta mot varandra. Om vi känner vektorernas komponenter i en [[ortonormerad bas]], dvs <math>\mathbf{a} = \sum_{i=1}^n a_i\hat{\mathbf{e}}_i</math> samt <math>\mathbf{b} = \sum_{i=1}^n b_i\hat{\mathbf{e}}_i</math> och <math>\hat{\mathbf{e}}_i\cdot \hat{\mathbf{e}}_j=\delta_{ij}</math> där <math>\delta_{ij}</math> är [[Kroneckerdelta]]t, så kan skalärprodukten även skrivas :<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n </math> Mer generellt gäller att :<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{T}A\mathbf{b} </math> där ''A'' är en inverterbar, postivt definit ''n''&times;''n''-matris och <math>\mathbf{a}^{T}</math> är [[transponat]]et av '''a''', ('''a''' och '''b''' betraktas här som 1&times;''n''-matriser). I rum av högre dimension än tre, där man inte lika självklart kan tala om längder och vinklar, används det senare ofta som definition av skalärprodukten. Utifrån denna kan man sedan analogt med det plana och det tredimensionella fallet definiera begrepp som längd och vinklar. Märk särskilt att skalärprodukten är en [[skalär]], ofta ett reellt tal, och inte en vektor - därav dess namn. Ibland används ordet "skalärmultiplikation" i betydelsen multiplikation av en vektor med en skalär, vilket innebär en förväxlingsrisk. [[Kategori:Linjär algebra]] [[cs:Skalární součin]] [[da:Skalarprodukt]] [[de:Skalarprodukt]] [[en:Dot product]] [[es:Producto escalar]] [[fr:Produit scalaire]] [[he:מכפלה סקלרית]] [[hu:Skaláris szorzat]] [[it:Prodotto scalare]] [[ko:내적]] [[lt:Skaliarinė sandauga]] [[nl:Inwendig product]] [[ja:ドット積]] [[pl:Iloczyn skalarny]] [[pt:Produto interno]] [[ru:Скалярное произведение]] [[sl:Skalarni produkt]] [[zh:点积]]

Tillbaka till Skalärprodukt.