Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Omegakonstanten''' är den [[matematiska konstanten]] :<math>\Omega \equiv W(1) \approx 0\mathrm{,}5671432904\,</math> där ''W'' betecknar [[Lamberts W-funktion]]. ==Karakterisering== Eric Weisstein beskriver omegakonstanten som [[exponentialfunktionen]]s motsvarighet till det [[gyllene snittet]], då den bland annat uppfyller följande ekvivalenta identiteter: * <math>\Omega e^\Omega = 1\,</math> * <math>e^{-\Omega} = \Omega\,</math> * <math>\ln(1/\Omega) = \Omega.\,</math> där ''e'' betecknar [[e (tal)|Eulers tal]] och ln betecknar den [[naturliga logaritmen]]. ==Irrationalitet och transcendens== Omegakonstanten är ett [[irrationellt tal]], vilket följer av att ''e'' är [[transcendent tal|transcendent]]. Om &Omega; kunde skrivas som ett rationellt tal ''p''/''q'' skulle gälla att :<math>e = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}} </math> och därmed att ''e'' är algebraiskt, en [[motsägelsebevis|motsägelse]]. Att &Omega; även är transcendent följer av [[Lindemann–Weierstrass sats]]: om den vore algebraisk skulle ''e''^&Omega; och därmed även :<math>\frac{1}{e^\Omega} = \Omega,</math> vara transcendent, vilket motsäger det ursprungliga antagandet. ==Beräkning== &Omega; kan beräknas genom att välja en lämplig uppskattning &Omega;₀ och sedan utföra [[iteration]]en :<math>\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}</math> som konvergerar mot &Omega; då ''n'' går mot oändligheten, om än relativt långsamt. En mer effektiv iteration är :<math>\Omega_{n+1} = \frac{1+\Omega_n}{1+e^{\Omega_n}},</math> som konvergerar kvadratiskt. ==Integraler== En integral för omegakonstanten är :<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{1+\Omega}.</math> Jämförelsevis är :<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{2};</math> ett exempel på att komplexiteten hos värdet av en definit integral är svår att förutsäga. ==Källor== * Eric Weisstein, "[http://mathworld.wolfram.com/OmegaConstant.html Omega Constant]", ''MathWorld'' * Gérard Michon, "[http://home.att.net/~numericana/answer/constants.htm#omega Numerical Constants]" * Victor Moll, "[http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals]", MAA Short Course on Experimental Mathematics [[Kategori:Matematiska konstanter]] [[Kategori:Irrationella tal]] [[Kategori:Transcendenta tal]] [[en:Omega constant]] [[fr:Constante oméga]] [[it:Costante Omega]] [[ja:オメガ定数]] [[pl:Stała Omega]] [[zh:欧米加常数]]

Tillbaka till Omegakonstanten.