Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>[[Fil:Standard deviation diagram.svg|frame|höger|Normalfördelningen]] '''Normalfördelningen''' är inom [[matematik]]en (i synnerhet [[sannolikhetsteori]] och [[statistik]]) den absolut viktigaste [[sannolikhetsfördelning|fördelningen]]. En normalfördelad variabel antar ofta värden som ligger nära medelvärdet och mycket sällan värden som har stor avvikelse. Därför ser normalfördelningen ut som en kulle eller en klocka och internationellt används ofta beteckningen ''bell curve''. Normalfördelningen är statistikens absolut viktigaste fördelning. Detta hänger samman med ett matematiskt resultat som kallas [[centrala gränsvärdessatsen]]. Resultatet innebär att summan av ett stort antal [[oberoende]] [[stokastisk variabel|slumpmässiga variabler]] är ungefär normalfördelad under vissa allmänna förutsättningar, ''oavsett vilken fördelning dessa variabler hade från början''. Detta får till följd att normalfördelningen dyker upp på många ställen i naturen och samhället och mängder med skeenden kan med stor noggrannhet beskrivas av normalfördelningen. Inom naturvetenskap, sociologi, ekonomi med mera är det vanligt att man inte förstår hur en viss mekanism fungerar, men man kan teoretiskt motivera ett användande av normalfördelningar eftersom det ofta är sant att fenomen uppkommer genom många små, oberoende, slumpmässiga variationer. == Exempel – singla slant == Om man singlar en slant 100 gånger och kallar summan för ''X'' så kommer ''X'' att vara [[binomialfördelning|binomialfördelad]]. Men eftersom varje slantsingling är [[oberoende]] av alla övriga kommer summan ''X'' att vara ungefär normalfördelad med väntevärde 50. Ofta är det mycket enklare att approximera en slumpmässig variabel med en normalfördelning än att beräkna sannolikheter exakt, och eftersom många slumpmässiga fenomen är summor av väldigt många små slumpmässiga tillskott fungerar det mycket bra. Historiskt sett var möjligheten att approximera stora binomialfördelningar det första tillämpningsområdet för normalfördelningen. == Definition == Normalfördelningen har [[täthetsfunktion]]en: [[Fil:Normal distribution pdf.png|miniatyr|300px|Normalfördelningen för olika värden på &mu; och &sigma;&sup2;]] :<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math>, där ''&mu;'' och ''&sigma;'' är normalfördelningens karakteristiska konstanter: ''&mu;'' kallas [[väntevärde]]t, och ''&sigma;'' kallas [[standardavvikelse]]n för fördelningen. Denna normalfördelning betecknas med <math>N(\mu,\sigma)\,</math>. Normalfördelningens [[täthetsfunktion]] kan inte [[integrera]]s med vanliga endimensionella metoder eftersom den inte har någon [[primitiv funktion]] som kan uttryckas [[analytisk]]t. Arean under kurvan kan emellertid med andra metoder visas vara 1, vilket den måste vara för att vara en riktig [[sannolikhetsfördelning]]. En '''standardiserad normalfördelning''' har &mu; = 0 och &sigma; = 1. [[Fil:Normal distribution cdf.png|miniatyr|300px|Fördelningsfunktion för normalfördelning]] [[Kumulativ fördelningsfunktion|Fördelningsfunktionen]] för en standardiserad normalfördelning brukar betecknas med <math>\Phi\,</math> och sambandet mellan fördelningsfunktion och täthetsfunktion säger att: :<math>\Phi(x) = \int_{-\infty}^x f(x) dx</math>. Fördelningsfunktionen anger sannolikheten att en normalfördelad variablel ''Y'' är mindre än eller lika med ett visst tal ''x'': :<math>P(Y < x) = \Phi(x)\,</math>. Sannolikheten att en normalfördelad variabel hamnar i ett interval <math>[a,b]</math> är: :<math>P(a < X < b) = \Phi(b) - \Phi(a)\,</math>. == Egenskaper == Följande egenskaper gäller för normalfördelningar: === Fördelningsfunktion === Fördelningsfunktionen för en godtycklig normalfördelad variabel <math>X\in N(\mu,\sigma)</math> kan lätt erhållas från fördelningsfunktionen för en standard-normalfördelad variabel: :<math>P(X<a)=\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)</math>. Denna egenskap gör att tabeller för normalfördelningar bara redovisar fördelningsfunktionen <math>\Phi\,</math>, eftersom alla andra normalfördelningar på detta sätt kan översättas till en med väntevärdet 0 och standardavvikelse 1. === Symmetri === :<math>\Phi(x) = 1 - \Phi(-x)\,</math>. Denna symmetri gör att alla tabeller bara redovisar <math>\Phi(x)\,</math> för positiva tal ''x''. === Linjär förändring === Om <math>X\in N(\mu,\sigma)</math> och <math>a,b\,</math> är konstanter så gäller att den [[linjär]]a formen :<math>aX + b \in N(a\mu+b,a\sigma)</math>, det vill säga väntevärdet förändras på samma linjära sätt och standardavvikelsen ökar med faktorn ''a''. === Summa av två oberoende normalfördelade variabler === Om <math>X \in N(\mu_X, \sigma_X)</math> och <math>Y \in N(\mu_Y, \sigma_Y)</math> är oberoende så gäller att deras summa :<math>X+Y \in N\left(\mu_X+\mu_Y, \sqrt{\sigma^2_X + \sigma^2_Y}\right)</math>. Differenser av oberoende normalfördelade variabler fungerar analogt. == Se även == *[[multivariat normalfördelning]]. *[[rektangulärfördelning]]. *[[Tabell över den kumulativa normalfördelningsfunktionen]] [[Kategori:Sannolikhetsfördelningar]] [[ar:توزيع احتمالي طبيعي]] [[az:Normal paylanma]] [[ca:Distribució normal]] [[cs:Normální rozdělení]] [[cy:Dosraniad normal]] [[da:Normalfordeling]] [[de:Normalverteilung]] [[en:Normal distribution]] [[eo:Normala distribuo]] [[es:Distribución normal]] [[eu:Banakuntza normal]] [[fa:توزیع نرمال]] [[fi:Normaalijakauma]] [[fr:Loi normale]] [[gl:Distribución normal]] [[he:התפלגות נורמלית]] [[hr:Normalna raspodjela]] [[hu:Normális eloszlás]] [[id:Distribusi normal]] [[is:Normaldreifing]] [[it:Variabile casuale normale]] [[ja:正規分布]] [[ko:정규분포]] [[la:Distributio normalis]] [[lt:Normalusis skirstinys]] [[mr:सामान्य वितरण]] [[nl:Normale verdeling]] [[no:Normalfordeling]] [[pl:Rozkład normalny]] [[pt:Distribuição normal]] [[ru:Нормальное распределение]] [[simple:Normal distribution]] [[sk:Normálne rozdelenie]] [[sl:Normalna porazdelitev]] [[sr:Нормална расподела]] [[su:Sebaran normal]] [[tr:Normal dağılım]] [[uk:Нормальний розподіл]] [[ur:معمول توزیع]] [[vi:Phân phối chuẩn]] [[zh:正态分布]]

Tillbaka till Normalfördelning.