Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>Inom [[topologi]], ett delområde av [[matematik]], är ett '''nät''' en generalisering av begreppet [[följd]]. Inom analysen använder man ofta konvergens av följder av element för att undersöka olika egenskaper, t ex kontinuitet, kompakthet och/eller slutenhet av mängder och annat. För många [[topologi|topologiska rum]] är följder dock inte tillräckliga, utan det krävs ett mer generellt begrepp. Detta har att göra med att vissa topologiska rum inte har en [[uppräknelig]] lokal bas för sin topologi. ==Definition== För att kunna definiera ett ''nät'' måste vi först definiera begreppet "riktad mängd" En '''riktad mängd''' <math> A </math> är en mängd A utrustad med en [[binär relation]] <math> \preceq </math> som uppfyller följande egenskaper: * <math> a \preceq a </math> för alla <math> a \in A </math> ([[reflexiv relation|reflexivitet]]) * Om <math> a \preceq b, b \preceq c </math> så <math> a \preceq c </math> ([[transitivitet (matematik)|transitivitet]]) * För varje <math> a,b \in A </math> finns <math> c \in A </math> så att <math> a \preceq c, b \preceq c </math> Ett '''nät''' i ett topologiskt rum X definieras som en avbildning från den riktade mängden A till X, där <math> a \mapsto x_{a} </math>. ==Konvergens== Man kan definiera konvergens av ett nät på ett liknande sätt som hos följder. Specifikt säger man att nätet <math>\{ x_{a} \}_{a \in A} </math> har gränsvärdet <math>y</math> om för varje öppen mängd <math>U \ni y</math> det finns ett <math>N \in A</math> så att <math> x_{a} \in U </math> för alla <math> a \succeq N </math>. ==Exempel== Eftersom en [[följd]] i ett topologiskt rum är en avbildning som till varje naturligt tal n ordnar en punkt <math> x_n </math> ser vi att en [[följd]] är ett exempel på ett nät. Vi kan nämligen lätt verifiera att de naturliga talen är en riktad mängd med sin vanliga ordningsrelation. Det motiverande exemplet inom den allmänna topologin är när A är mängden av [[omgivning]]ar till en punkt x, med den binära relationen <math> U \preceq V \Leftrightarrow U \supset V </math>. En funktion <math>f</math> från de reella talen till ett topologiskt rum <math>X</math> är ett annat nät, med den vanliga ordningsrelationen som definierar riktning. ==Referenser== *G.B. Folland ''Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications'', second edition, John Wiley and Sons, 1999. *J.L. Kelley, ''General Topology'', van Nostrand, 1955. [[Kategori:Topologi]] [[de:Netz (Topologie)]] [[en:Net (mathematics)]] [[es:Red (matemática)]] [[he:גבול (טופולוגיה)]] [[it:Rete (matematica)]] [[ja:有向点族]] [[pl:Ciąg uogólniony]] [[pt:Sequência generalizada]] [[zh:網 (數學)]]

Tillbaka till Nät (matematik).