Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>Inom [[matematik]]en är en '''matrisfunktion''' en [[funktion]] som avbildar en [[matris (matematik)|matris]] på en matris. ==Enkla matrisfunktioner== En del funktioner på [[skalär]]er är lätta att överföra till [[kvadratisk matris|kvadratiska matriser]]., t.ex. [[polynom]]funktioner. Med matrismultiplikation definierar man :<math> A^0 = I \,</math> :<math> A^n = \prod_{k=1}^nA</math> för att på så sätt kunna hantera polynom av matriser. Men de flesta funktioner är inte lika enkla att överföra till matriser. ==Skalärfunktioner överförda till matriser== Det finns flera aspeketer när man betraktar överföringen av en funktion från skalärer till matriser. ===Maclaurinutveckling=== En funktions [[Maclaurinserie]]: :<math>f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k</math> kan även användas på matriser. ===Funktioner av diagonaliserbara matriser=== För en [[diagonalmatris]] <math> D </math> kan man genom Maclaurinserien få att: :<math>f(D) = \begin{pmatrix} f(d_1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & f(d_2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f(d_n) \end{pmatrix} </math> Om en matris <math> A </math> är [[diagonaliserbar]], dvs det finns en matris <math> T </math> sådan att <math> A = TDT^{-1} </math>, brukar man använda faktumet att: :<math> A^2 = (TDT^{-1})^2 = TDT^{-1}TDT^{-1} = TD^2T^{-1} \Rightarrow A^n = TD^nT^{-1} </math> Maclaurinserien ger då att: :<math>f(A) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}A^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}(TDT^{-1})^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}TD^kT^{-1} = T(\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}D^k)T^{-1} = Tf(D)T^{-1}</math> ===Funktioner av matriser på Jordans normalform=== Alla kvadratiska matriser kan skrivas på [[Jordans normalform]], dvs <math> A = TJT^{-1} </math> där <math> J </math> är en [[blockdiagonal matris]]. På samma sätt som för diagonala matriser får man att: :<math>f(A) = Tf(J)T^{-1}</math> För att definiera matrisen för <math> J </math> kan man avnända faktumet att <math> J = D + N </math> för en diagonalmatris <math> D </math> och en [[nilpotent matris]] <math> N </math>, detta kan göras exempelvis i fallet [[matrisexponential]]. Man kan också betrakta funktioner av [[Jordanblock]], som är de block som matrisen <math> J </math> har i sin diagonal. Ett Jordanblock <math> J_p </math> har formen: :<math>J_p = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} </math> Dvs, en matris med ett tal <math> \lambda </math> i huvuddiagonalen, med en diagonal av ettor ovanför huvuddiagonalen. Funktionen av ett Jordanblock blir då: :<math>f(J_p) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}J_p^k = \begin{pmatrix} \frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \frac{f''(\lambda)}{2!} & \cdots & \frac{f^n(\lambda)}{n!} \\ 0 & \frac{f(\lambda)}{0!} & \frac{f'(\lambda)}{1!} & \cdots & \frac{f^{(n-1)}(\lambda)}{(n-1)!} \\ 0 & 0 & \frac{f(\lambda)}{0!} & \cdots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda)}{(n-2)!} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{f(\lambda)}{0!} \end{pmatrix} </math> ==Se även== *[[Funktion]] *[[Matrisexponential]] *[[Matrislogaritm]] [[Kategori:Matrisalgebra]] [[cs:Maticová funkce]] [[en:Matrix function]] [[pt:Função matricial]]

Tillbaka till Matrisfunktion.