Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>[[Fil:Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg|miniatyr|Del av [[Mandelbrotmängden]], en berömd [[fraktal]]. Den kan beskrivas med en enkel formel, men uppvisar en oändlig komplexitet: ju närmare man betraktar den, desto fler detaljer uppenbarar sig.]] [[Fil:TI-30 eco RS.jpg|miniatyr|En [[miniräknare]] visar talet pi avrundat till nio decimaler.]] {{Matematiska begrepp}} '''Matematik''' (av [[grekiska]] ''máthema'', "vetenskap") är läran om [[abstrakt]]a [[kvantitet]]er, [[struktur]]er och [[mönster]]. Matematiken består av metoder för att beskriva och analysera abstrakta samband, och kunskap i form av redan härledda resultat. Viktiga områden är [[aritmetik]], [[talteori]], [[algebra]], [[matematisk analys|analys]], [[geometri]], [[topologi]], [[mängdteori]] och [[matematisk statistik|statistik]], bland många andra. Matematiken är helt [[abstraktion|abstrakt]] och skiljer sig på så sätt från [[naturvetenskap]]. Den är inte [[empiri]]sk prövbar, utan bygger på [[axiom]], och därför är den enligt vissa definitioner ingen [[vetenskap]]. Dock används den inom flera vetenskaper - huvudsakligen, men inte enbart, naturvetenskapliga sådana - som ett verktyg för att formulera och lösa problem. == Matematiska begrepp == {{Fördjupning|Matematisk ordlista}} [[Fil:CuttySarkRomNum.jpg|miniatyr|[[Tal (matematik)|Tal]] har genom tiderna skrivits med olika [[talsystem]], i detta fall det [[romerska talsystemet]].]] [[Fil:Venn A intersect B.svg|miniatyr|[[Mängd]]er brukar illustreras med [[Venndiagram]].]] [[Fil:Relativity3 Walk of Ideas Berlin.JPG|miniatyr|[[Ekvation]]er används i flera vetenskaper, bland annat [[fysik]], för att beskriva [[verklighet]]en. ''[[E=mc²]]'' beskriver förhållandet mellan [[massa]] och [[energi]].]] Nya matematiska begrepp införs med en [[definition]], som beskriver exakt vad begreppet står för, utifrån begrepp som redan är definierade. Här presenteras några allmänna begrepp som är grundläggande i alla matematiska delområden. En '''[[mängd]]''' är en samling [[objekt]], till exempel en samling tal, som kan vara ändligt eller [[oändligt]] många. En mängd som inte innehåller några objekt kallas [[den tomma mängden]]. Mängder kan också innehålla andra mängder, [[delmängd]]er. De studeras mer ingående i [[mängdteori]]. Ett '''[[tal (matematik)|tal]]''' är ett objekt som representerar [[värde (matematik)|värdet]] på en [[storhet]] eller [[kvantitet]]. [[De naturliga talen]] (''1, 2, 3...'') är en mängd av tal som används för att [[räkna]] hela föremål. Genom matematiska operationer kan man definiera nya talmängder. [[Naturliga tal]] tillsammans med [[negativa heltal]] (till exempel -1) blir [[heltal]], som tillsammans med [[bråk]] (till exempel ''½'') blir [[rationella tal]]. De rationella talen bildar tillsammans med [[algebraiska tal]] (till exempel<math>\sqrt 2</math>) och [[transcendenta tal]] (till exempel π ([[pi]]) och ''e'' ([[Eulers konstant]]) de [[reella tal]]en, som med [[imaginära tal]] (som mäts med den [[imaginära enheten]] ''i'') blir [[komplexa tal]]. En '''[[matematisk operation|operation]]''' är en handling då en eller flera [[operand]]er, till exempel tal, förändras enligt ett särskilt mönster, en [[operator]], och ger ett resultat. De mest grundläggande operationerna är [[räknesätt]]en - [[addition]], [[subtraktion]], [[multiplikation]] och [[division (matematik)|division]]. En '''[[parameter]]''' är ett tal som skrivs med en särskild symbol. En parameter är antingen en '''[[variabel]]''' som ändrar värde, eller en '''[[konstant]]''' som alltid har samma värde. En [[matematisk konstant]] är en konstant med en bestämd, matematisk definition. Bland de viktiga matematiska konstanterna finns talen [[0 (tal)|0]] och [[ett|1]], men också mer invecklade tal som de ovan nämnda π och ''e''. Ett '''[[matematiskt uttryck]]''' är en samling tal och/eller parametrar som är sammanlänkade med operatorer så de ger ett entydigt resultat. En '''[[ekvation]]''' är ett [[påstående]] om att två matematiska uttryck har samma värde. En ekvation skrivs med [[likhetstecken]]: ekvationen ''x=5'' innebär att [[variabel]]n ''x'' har värdet 5. Ett [[ekvationssystem]] består av flera ekvationer som är giltiga samtidigt. Några vanliga typer av ekvationer är [[differentialekvation]]er och [[diofantiska ekvationer]]. En variant på ekvationen är en [[olikhet]], alltså ett påstående om att två matematiska uttryck är olika, till exempel [[triangelolikheten]], som säger att varje sida i en [[triangel]] är kortare än summan av de två andra. En '''[[funktion]]''' är en [[variabel]] som är beroende av en eller flera andra variabler enligt en ekvation. Några viktiga funktioner är [[linjära funktioner]], [[polynom]], [[exponentialfunktion]]er och [[trigonometriska funktioner]]. En '''[[vektor]]''' är i allmänhet en lista på tal, som är vektorns ''komponenter''. Antalet tal är vektorns [[dimension]]. Med hjälp av ett [[koordinatsystem]] kan vektorer bilda punkter i ett [[vektorrum]]. Dessa punkter kan sättas samman till geometriska figurer. En vektor kan i stället för tal bestå av andra objekt, som följer vissa grundläggande räkneregler. Till exempel kan polynom användas som vektorer. En [[matris (matematik)|matris]] är en tabell av tal som kan beskriva ett [[ekvationssystem]] eller en [[linjär avbildning]] av vektorer från ett vektorrum till ett annat. == Matematiska delområden == [[Fil:Low pressure system over Iceland.jpg|miniatyr|För att göra [[väderprognos]]er använder man [[partiella differentialekvationer]] formulerade med [[vektoranalys]].]] Matematikens delområden är ofta svåra att särskilja både i teori och tillämpning, och undervisas i samma kurs upp till gymnasienivå. På högskolan brukar delområdena separeras till olika kurser, men det brukar vara först efter kandidatexamen eller motsvarande som en matematikstudent specialiserar sig på något delområde. Den mest grundläggande matematiken är '''[[aritmetik]]''', även kallad ''räknelära'', som beskriver [[räknande]] och [[räknesätt]]en, med övning i [[huvudräkning]], [[avrundning]] och [[överslagsräkning]]. En teoretisk utbyggnad är [[talteori]] som definierar olika typer av naturliga tal, som [[primtal]] och [[perfekta tal]]. '''[[Geometri]]''' beskriver [[form]]er. Utifrån [[punkt]]er, konstruerar man [[linje]]r, [[vinklar]], och därifrån [[cirklar]], [[månghörning]]ar [[kropp (geometri)|kroppar]] och andra geometriska objekt. [[Trigonometri]] beskriver förhållandet mellan [[vinklar]]. I [[analytisk geometri]] definieras ett [[rum (matematik)|rum]] utifrån ett [[koordinatsystem]]. Sentida utvecklingar är [[fraktalgeometri]] och [[topologi]]. '''[[Algebra]]''' beskriver operationer på [[parametrar]] och andra [[matematiska objekt]]. Den kan delas in i flera nivåer - [[elementär algebra]] där variablerna står för enskilda tal, [[linjär algebra]] där de står för [[vektor]]er och [[matris (matematik)|matriser]], [[abstrakt algebra]] där de står för andra [[algebraiska strukturer]] och [[universell algebra]]. '''[[Matematisk analys]]''' utgår från [[differential]]er och [[gränsvärde]]n, för att beräkna [[derivator]] - förändringar av en funktions värde, och [[integraler]] - kontinuerliga [[summor]] av en funktions värde. Analys kan kombineras med linjär algebra till [[vektoranalys]] och [[differentialgeometri]]. [[Komplex analys]] beskriver differentiering av [[komplexa funktioner]]. En viktig tillämpning är lösning av [[differentialekvation]]er, som beskriver förhållandet mellan en funktion och dess derivator. '''[[Diskret matematik]]''' är operationer med [[heltal]]. En viktig gren är [[kombinatorik]] som beskriver antal [[kombination (matematik)|kombinationer]] och [[permutation]]er. '''[[Sannolikhetsteori]]''' och '''[[matematisk statistik]]''' beskriver operationer med [[stokastiska variabler]], som ger ett [[slumpmässig]]t [[utfall]] enligt en [[sannolikhetsfördelning]]. ==Historik== :''Huvudartikel: [[Matematikens historia]]'' [[Fil:RomanAbacusRecon.jpg|miniatyr|Rekonstruktion av romersk [[abakus]].]] [[Fil:Kepler-solar-system-1.png|miniatyr|De fem [[platonska kroppar]]na har varit kända sedan antiken, och förekommer bland annat i [[Johannes Kepler]]s modell av [[solsystemet]], ''[[Mysterium Cosmographicum]]'', från 1596.]] Matematikens historia sträcker sig från förhistorisk tid till nutid. Den innefattar – utöver ett kontinuerligt ansamlande av matematisk kunskap – utveckling av arbetsmetoder och upptäckter av nya tillämpningsområden, och är tätt sammanvävd med [[naturvetenskap]]ens, [[teknik]]ens och [[filosofi]]ns historia. Från sitt ursprung i den grundläggande [[aritmetik|räknekonsten]] har den matematiska kunskapen och metodiken utvecklats under loppet av årtusenden. Framstående matematiska kulturer fanns bland annat under antiken i [[Babylonien]] och [[Grekland]], och under medeltiden i [[mellanöstern]]. Utvecklingen kom dock att explodera i det eftermedeltida Europa, väsentligen i samband med den [[vetenskap|vetenskapliga revolutionen]], och i dag bedrivs mer matematisk forskning än någonsin tidigare. ==Egenskaper och metodik== Matematiker studerar [[tal]], [[geometri|geometriska figurer]], och många andra abstrakta föremål som kan vara mer eller mindre svåra att få en intuitiv uppfattning om. Målet är i allmänhet att försöka upptäcka mönster och sammanhang. Mönstren sammanfattas i form av regler som, förutom att ge en förståelse av de objekt som studeras, kan användas för att lösa nya problem. För att reglerna ska vinna erkännande krävs det också av matematikerna att de genom rigoröst logiskt resonemang bevisar att reglerna verkligen stämmer. ===Matematisk notation=== {{Fördjupning|Matematisk notation}} Den [[matematisk notation|matematiska notationen]] består av symboler och konventioner som låter matematiker uttrycka idéer på ett koncist och exakt sätt. För att skriva naturliga tal använder man [[talsystem]] och [[siffror]]. Tillsammans med dessa används [[matematiska symboler]] för att beskriva andra talformer ([[bråkstreck]], [[procent]], [[promille]] och [[decimaltecken]] för [[rationella tal]], [[minustecken]] för negativa tal, [[rottecken]] för [[algebraiska tal]] etc), de olika [[räknesätt]]en och andra [[matematisk operation|operationer]]. ===Formell matematisk terminologi=== {{Fördjupning|Matematisk ordlista}} Matematikerna har under århundradena utvecklat ett språk för att uttrycka sina resultat och kommunicera med varandra. Det matematiska språket är nödvändigt, eftersom [[naturligt språk|naturliga språk]] sällan är exakt nog. Detta har lett till att även vanliga ord som "om" och "öppen" har en väldigt specifik betydelse inom matematiken. ===Bevisföring=== [[Fil:Pythagproof.svg|miniatyr|Illustration av bevis för [[Pythagoras sats]].]] {{Huvudartikel|Bevis}} Matematiken är objektiv och exakt, eftersom den bygger på logik och är oberoende av den fysiska världen. Oavsett hur starkt stöd utförda observationer ger en naturvetenskaplig teori är det i princip möjligt att nästa observation omkullkastar den, men ett matematiskt resultat är otvivelaktigt och evigt sant då det en gång bevisats. Matematiska resultat utgörs av [[teorem|satser]] (eller ''teorem''), antaganden som har [[bevis]]ats objektivt. Ett matematiskt bevis består av ett antal steg som följer logiska [[härledningsregel|inferensregler]]. Eftersom varje steg bara kan härleda en sanning från en annan, krävs grundläggande, uppenbara sanningar som alla andra resultat kan falla tillbaka på. Dessa sanningar kallas ''[[axiom]]''. Det visar sig att nästan alla kända matematiska resultat kan härledas från endast en handfull axiom, de [[mängdteoretiska axiom]]en. I praktiken följer [[matematiker]] ofta sin [[intuition]] eller experimenterar sig fram då de angriper nya problem, men det är av yttersta vikt att resultaten kan bevisas formellt, då det finns många exempel på "intuitivt sanna" antaganden från matematikens historia som visat sig vara felaktiga vid grundligare undersökning. Strävan att undanröja möjligheten till sådana fel var en bidragande orsak till utvecklingen av den matematiska [[formalism]]en som konsoliderades i början av 1900-talet. ===Estetik=== Matematiker använder ibland ordet "vackert" för att beskriva till exempel ett bevis eller ett samband. Till skillnad från de flesta andra uttryck inom matematiken är det svårt att specifiera exakt vad som menas med detta, men det kan till exempel innebära att flera olika områden som till en början kan tyckas åtskilda binds samman, en metod som lätt går att använda på många olika problem, eller ett bevis som drar långtgående slutsatser från ett fåtal förutsättningar. Typexemplet på ett vackert uttryck är följande :<math> e^{i\pi}+1=0\,</math> som kopplar samman Eulers konstant ''[[e (tal)|e]]'', som är viktig inom analys, [[imaginära enheten]] ''i'' från [[komplex analys]], [[pi (tal)|π]] från geometrin samt [[1 (tal)|1]] som är grunden för de [[naturliga tal]]en och [[0]]. ===Matematikens filosofi=== {{Fördjupning|Matematikfilosofi}} Matematiken beskrivs ibland som en [[formalvetenskap]], ibland inte som vetenskap alls. Precis vad matematik är, och hur matematiska [[sanning]]ar och begrepp relaterar till den fysiska världen och det mänskliga sinnet, är omtvistade frågor som studeras inom [[matematikfilosofi]]n, där det finns flera konkurrerande perspektiv eller "skolor". En av dessa skolor är [[platonism]]en eller realismen, som hävdar att alla kända och okända matematiska objekt existerar i en parallell [[idévärld]]. Matematiken ses som [[utforskande]]t av den världen, matematiska resultat som upptäckter. Andra menar att matematiken delvis eller helt och hållet är konstruerad av människor. Den tyske matematikern [[Leopold Kronecker]] (1823-1891) anmärkte att "Gud skapade heltalen. Allt annat är människans verk". Den dominerande uppfattningen bland moderna matematiker är den [[formalism (matematik)|formalistiska]], det vill säga matematik ses som härledningen av teorem i något inferenssystem, utifrån några axiom. Axiomen och inferensreglerna ses inte som naturlagar, utan. Frågan är varför vissa axiom ger sanningar som verkar stämma med den fysiska världen. Formalismen säger ingenting om de matematiska objektens verklighet. Däremot löser den problem, till exempel satser som inte kan avgöras. Bland andra [[Eugene Wigner]] påpekar matematikens "orimliga effektivitet" inom naturvetenskap. Många matematiker betraktar delvis ämnet som [[konst]]. Se även [[metamatematik]]. ==Studier i matematik== [[Fil:Math lecture at TKK.JPG|miniatyr|Föreläsning i [[linjär algebra]] på [[Tekniska högskolan i Helsingfors]].]] {{Fördjupning|Matematikundervisning}} Matematik är ett omfattande ämne i skolor i hela världen. Det undervisas också på universitet. I akademisk utbildning är det ett obligatoriskt ämne i naturvetenskaps- och ingenjörsutbildningar. Universiteten står idag för huvuddelen av all [[matematisk forskning]]. Matematisk forskning handlar oftast om att finna bevis för [[förmodan]]den, så att de blir [[teorem]]. En berömd matematisk facktidskrift är [[Acta Mathematica]]. ==Tillämpningar== [[Fil:Magellan GPS Blazer12.jpg|miniatyr|[[GPS]]-mottagare använder [[triangulering]] för att beräkna position i [[jordens koordinatsystem]].]] {{Fördjupning|Tillämpad matematik}} [[Kvantitativ]]a [[vetenskap]]er, som [[naturvetenskap]]er, [[ingenjörsvetenskap]]er och [[samhällsvetenskap]]er, bygger på [[matematiska modeller]]. En matematisk modell [[generalisera]]r den [[verklighet]] man vill beskriva, och kan användas för att kunna göra [[förutsägelse]]r. Se även [[approximation]] och [[överslagsräkning]]. ===Matematik i fysik=== {{Fördjupning|Fysik}} Fysik, den [[vetenskap]] som beskriver [[storhet]]er, bygger på [[naturlag]]ar som formulerats som matematiska ekvationer. Fysiken har till stor del utvecklats parallellt med matematiken. ===Numerisk analys=== {{Fördjupning|Numerisk analys}} Numerisk analys, eller beräkningsvetenskap, är läran att lösa matematiska problem med [[algoritm]]er. Genom [[dator]]er har den numeriska analysen blivit ett viktigt tekniskt redskap. ==Källor== * [http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/HistTopics/History_overview.html Saint Andrews Universitet - An overview of the history of mathematics] * [http://www.math.uu.se/~kiselman/vadmatematik.html Christer Kiselman - Vad är matematik?] * [http://abel.math.umu.se/fo_info/attforsk/ Att forska i matematik] == Se även == *[[Matematikens historia]] *[[Matematiker]] *[[Matematikterminologi]] *[[Matematisk statistik]] *[[Mängdteori]] *[[Talteori]] *[[Pseudomatematik]] == Externa länkar == {{Wikibooks|boktitel=Matematik|boktitel2="Matematik"}} *[http://www.math.uu.se/~kiselman/vadmatematik.html Christer Kiselman - Vad är matematik?] *[http://www.tex-sales.se/Books/GaneliusScreen.pdf Tord Ganelius - Introduktion till matematiken] *[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Day_files/Now.html Saint Andrews Universitet - Matematiker som föddes eller dog idag] *[http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/Indexes/Women.html Saint Andrews Universitet - Kvinnliga matematiker] *[http://mathworld.wolfram.com/ Wolfram Mathworld mathematical resources] [[Kategori:Matematik| ]] [[Kategori:Rilpedia:Basartiklar]] {{Link FA|mk}} {{Link FA|ka}} {{Link FA|ia}} {{Link FA|la}} {{Link FA|lmo}} {{Link FA|vo}} [[af:Wiskunde]] [[als:Mathematik]] [[am:ትምህርተ ሂሳብ]] [[an:Matematicas]] [[ar:رياضيات]] [[arz:رياضيات]] [[as:গণিত]] [[ast:Matemátiques]] [[ay:Jakhu]] [[az:Riyaziyyat]] [[ba:Математика]] [[bar:Mathematik]] [[bat-smg:Matematėka]] [[be:Матэматыка]] [[be-x-old:Матэматыка]] [[bg:Математика]] [[bn:গণিত]] [[bo:རྩིས་རིག་]] [[bpy:গণিত]] [[br:Matematikoù]] [[bs:Matematika]] [[bug:Matematika]] [[ca:Matemàtiques]] [[ceb:Matematika]] [[ch:Matematika]] [[co:Matematica]] [[crh:Riyaziyat]] [[cs:Matematika]] [[csb:Matematika]] [[cv:Математика]] [[cy:Mathemateg]] [[da:Matematik]] [[de:Mathematik]] [[diq:Matematik]] [[dsb:Matematika]] [[dv:ރިޔާޟިއްޔާތު]] [[el:Μαθηματικά]] [[eml:Matemâtica]] [[en:Mathematics]] [[eo:Matematiko]] [[es:Matemáticas]] [[et:Matemaatika]] [[eu:Matematika]] [[ext:Matemáticas]] [[fa:ریاضیات]] [[fi:Matematiikka]] [[fiu-vro:Matõmaatiga]] [[fo:Støddfrøði]] [[fr:Mathématiques]] [[fur:Matematiche]] [[fy:Wiskunde]] [[ga:Matamaitic]] [[gd:Matamataig]] [[gl:Matemáticas]] [[gu:ગણિત]] [[gv:Maddaght]] [[hak:Sṳ-ho̍k]] [[haw:Makemakika]] [[he:מתמטיקה]] [[hi:गणित]] [[hr:Matematika]] [[ht:Matematik]] [[hu:Matematika]] [[hy:Մաթեմատիկա]] [[ia:Mathematica]] [[id:Matematika]] [[ie:Matematica]] [[io:Matematiko]] [[is:Stærðfræði]] [[it:Matematica]] [[ja:数学]] [[jbo:cmaci]] [[jv:Matématika]] [[ka:მათემატიკა]] [[kk:Математика]] [[kl:Matematikki]] [[kn:ಗಣಿತ]] [[ko:수학]] [[ks:علم ریاضی]] [[ku:Matematîk]] [[ky:Математика]] [[la:Mathematica]] [[lad:Matematika]] [[lb:Mathematik]] [[li:Mathematik]] [[lij:Matematica]] [[lmo:Matemàtega]] [[lo:ຄະນິດສາດ]] [[lt:Matematika]] [[lv:Matemātika]] [[map-bms:Matematika]] [[mg:Fanisana]] [[mk:Математика]] [[ml:ഗണിതം]] [[mn:Математик]] [[mr:गणित]] [[ms:Matematik]] [[mt:Matematika]] [[myv:Математика]] [[nah:Tlapōhuayōtl]] [[nds:Mathematik]] [[nds-nl:Wiskunde]] [[ne:गणित]] [[nl:Wiskunde]] [[nn:Matematikk]] [[no:Matematikk]] [[nov:Matematike]] [[nrm:Caltchul]] [[oc:Matematicas]] [[pa:ਗਣਿਤ]] [[pag:Matematiks]] [[pl:Matematyka]] [[pms:Matemàtica]] [[ps:شمېر پوهنه]] [[pt:Matemática]] [[qu:Yupay yachay]] [[ro:Matematică]] [[roa-rup:Mathematicã]] [[ru:Математика]] [[sa:गणितं]] [[sah:Математика]] [[sc:Matemàtica]] [[scn:Matimàtica]] [[sco:Mathematics]] [[sh:Matematika]] [[si:ගණිතය]] [[simple:Mathematics]] [[sk:Matematika]] [[sl:Matematika]] [[sm:Matematika]] [[sn:Masvomhu]] [[so:Xisaab]] [[sq:Matematika]] [[sr:Математика]] [[srn:Sabi fu Teri]] [[su:Matematika]] [[sw:Hisabati]] [[szl:Matymatyka]] [[ta:கணிதம்]] [[tet:Matemátika]] [[tg:Математика]] [[th:คณิตศาสตร์]] [[tk:Matematika]] [[tl:Matematika]] [[tr:Matematik]] [[uk:Математика]] [[ur:ریاضی]] [[uz:Matematika]] [[vec:Matemàtega]] [[vi:Toán học]] [[vo:Matemat]] [[war:Matematika]] [[wo:Xayma]] [[wuu:数学]] [[yi:מאטעמאטיק]] [[yo:Mathematiki]] [[za:Soqyoz]] [[zh:数学]] [[zh-classical:數學]] [[zh-min-nan:Sò͘-ha̍k]] [[zh-yue:數學]]

Tillbaka till Matematik.