Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>Ett '''kardinalitetmått''' eller '''räknemått''' är ett [[mått (matematik)|mått]] som mäter [[kardinalitet]]en för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i [[serie (matematik)|serieteori]]. == Definition == Låt <math>X\,</math> vara en mängd. '''Kardinalitetmåttet''' för mängden är en funktion <math>\mu : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty]</math>, definierad som: :<math>\mu (A) = \left\{ \begin{matrix}\mbox{card}(A), & \textrm{om } \ A \mbox{ är ändlig} \\ +\infty, & \textrm{om } \ A \mbox{ är oändlig}, \end{matrix} \right.</math> där ''card(A)'' är [[kardinalitet]]en för mängden ''A''. Kardinalitetmåttet är ett [[mått (matematik)|mått]]. == Egenskaper == Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och [[Diracmått]]: om <math>A \subset X\,</math> så är :<math>\mu (A) = \sum_{x \in A} \delta_x (X).</math> Kardinalitetmått är nolldimensionella [[Hausdorffmått]]: :<math>\mu = \mathcal{H}^0 .</math> == Serieteori == Kardinalitetmåttet har tillämpningar i [[serie (matematik)|serieteori]]. Om <math>X\,</math> är [[uppräknelig]], dvs :<math>X = \{x_i : i \in \N \}\,</math>, så är kardinalitetmåttets [[måttintegral]] en serie: om <math>f : X \rightarrow \R\,</math> så är :<math>\int_X \, f \, d\mu = \sum_{i = 1}^\infty f(x_i) .</math> Så att ''f'' är [[Lebesgueintegration#Integrerbar funktioner|integrerbar]] om och endast om serien <math>\sum_{i = 1}^\infty f(x_i)</math> är [[Konvergens (matematik)|absolutkonvergent]]. Detta innebär också att vi man kan bevisa [[Hölders olikhet]] och [[Minkowskis olikhet]] för serier med [[Lp-rum|L<sup>p</sub>-normens]] Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler. == Se även == * [[Mått]] == Referenser == * P. Halmos, ''Measure theory'', D. van Nostrand and Co., 1950 [[Kategori:Måtteori]] [[ca:Mesura de comptar]] [[da:Tællemålet]] [[de:Zählmaß (Maßtheorie)]] [[en:Counting measure]] [[eo:Kalkula mezuro]] [[ko:셈측도]] [[ja:数え上げ測度]] [[nl:Telmaat]] [[pl:Miara licząca]] [[ru:Счётная мера]]

Tillbaka till Kardinalitetmått.