Elementär matris

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>Inom [[matematik]]en är '''elementära matriser''' [[matriser]] som skiljer sig från [[enhetsmatris]]en på ett minimalt sätt. [[Matrismultiplikation]] med en elementär matris från vänster leder till en '''elementär radoperation''' i matrisen den elementära matrisen multipliceras med (multiplikation från höger leder till en '''elementär kolumnoperation''').

== Ekvationssystemlösning ==
Elementära radoperationer ändrar inte lösningsmängden till ett linjärt ekvationssystem, något som används vid [[Gausselimination]]. Varje operation som man utför vid Gausselimination kan uttryckas som en elementär matris.

== Radoperationer som elementära matriser ==
Det finns tre typer av elementära matriser som är sammankopplade med olika radbytesoperationer. Om vi kallar rad <math> i </math> i matrisen <math> A </math> för <math> A_i </math> ([[radvektor]] <math> i </math>), kan dessa uttryckas som:
*Radbyten, två rader byter plats:
:<math> R_i \leftrightarrow R_j </math>
*Radmultiplikation, en rad multipliceras med en konstant:
:<math> kR_i \rightarrow kR_i </math>
*Radaddition, en rad multiplicerad med en konstant läggs till en annan rad:
:<math> R_i + kR_j \rightarrow R_i </math>

===Radbytesmatriser===
En elementär matris som byter två rader <math> i </math> och <math> j </math> i en matris:

:<math> T_{i,j} =
\begin{pmatrix}
1 & & & & & & & \\ 
& \ddots & & & & & & \\ 
& & 0 & & 1 & & \\ 
& & & \ddots & & & & \\ 
& & 1 & & 0 & & \\ 
& & & & & & \ddots & \\ 
& & & & & & & 1
\end{pmatrix}
</math>

Dvs, en matris med ettor i diagonalen förutom på två ställen, som markerar vilka rader som ska bytas. <math< T_{ij} fås enkelt genom att byta rad <math> i </math> med rad <math> j </math> i enhetsmatrisen.

====Egenskaper====
*<math> T_{i,j} </math> är sin egen invers, <math> T_{i,j}^2 = I </math>.
*[[Determinant]]en för <math> T_{i,j} </math> är -1. 

====Exempel====
Nedanstående matrisen byter plats på rad 1 och rad 2 i en matris av format <math> 3 \times n </math>:
:<math>T_{2,3} =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

Multiplikation med en exempelmatris <math> A </math>:

:<math>T_{2,3}A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{pmatrix}
</math>

===Radmultiplikationsmatriser===
En elementär matris som multiplicerar en rad <math> i </math> med en konstant <math> k </math> kan uttryckas:

:<math> T_i(k) =
\begin{pmatrix}
1 & & & & & & & \\ 
& \ddots & & & & & & \\ 
& & 1 & & & & \\ 
& & & k & & & & \\ 
& &  & & 1 & & \\ 
& & & & & & \ddots & \\ 
& & & & & & & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Egenskaper====
*<math>T_i(k)^{-1} = T_i(\frac{1}{m})</math>.
*Matrisen är diagonal (enligt ovan är då även inversen diagonal).
*Determinanten är <math> k </math>.

====Exempel====
En matris som multiplicerar rad 2 i en matris med format <math> 3 \times n </math> med talet 3 skulle uttryckas:

:<math>T_2(3) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

Multiplicerat med exempelmatrisen <math> A </math>:

:<math>T_2(3)A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
6 & 9 & 12 & 15 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{pmatrix}
</math>

===Radadditonsmatriser===
En matris som adderar en multipel <math> m </math> av en rad <math> i </math> till en annan rad <math> j </math> kan uttryckas:

:<math>T_{i,j}(m) =
\begin{pmatrix}
1 & & & & & & & \\ 
& \ddots & & & & & & \\ 
& & 1 & & & & \\ 
& & & \ddots & & & & \\ 
& & m & & 1  & \\ 
& & & & & & \ddots & \\ 
& & & & & & & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Egenskaper====
*<math>T_{i,j}(m)^{-1} = T_{i,j}(-m)\,</math>
*Matrisen (och då även inversen) är [[triangulär matris|triangulär]].
*Determinanten för matrisen är 1.

====Exempel====
En matris som drar ifrån rad 1 multiplicerat med talet 2 från rad 3 i en matris med format <math> 3 \times n </math> skulle uttryckas:

:<math>T_{1,3}(-2) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
</math>

Multiplicerat med en exempelmatris <math> A </math>:

:<math>T_{1,3}(-2)A =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 0 & -1 & -2 
\end{pmatrix}
</math>

==Se även==
*[[Gausselimination]]
*[[Linjära ekvationssystem]]

[[Kategori:Matriser]]

[[de:Elementarmatrix]]
[[en:Elementary matrix]]
[[fr:Matrice élémentaire]]
[[is:Frumfylki]]
[[ja:行列の基本変形]]
[[nl:Elementaire matrix]]
[[pl:Operacje elementarne]]
[[ru:Элементарные преобразования матрицы]]
[[zh:初等變換]]