De stora talens lag

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''De stora talens lag''' är en sats inom [[sannolikhetsteori]]n, som innebär att det [[aritmetiskt medelvärde|aritmetiska medelvärdet]] av ett stort antal oberoende observationer av en [[stokastisk variabel|slumpvariabel]] med stor sannolikhet ligger nära [[variabel]]ns [[väntevärde]]. De stora talens lag kan sägas motsvara uttrycket "Det jämnar ut sig i det långa loppet", under vissa omständigheter.

[[Fil:Slantsingling-storatalenslag.png|miniatyr|Datorsimulering av 500 slantsinglingar. Det är här tydligt att medelvärdet av andelen krona närmar sig väntevärdet 1/2 när antalet singlingar ökar.]]

==Historia==
===Bernoullis sats===
Den första versionen av stora talens lag formulerades och bevisades av [[Jacob Bernoulli]] i början på 1700-talet av, Bernoullis sats<ref>{{webbref | titel=stora talens lag | url=http://ne.se/l%C3%A5ng/storatalenslag | utgivare=Nationalencyklopedin | hämtdatum=27/3 2009 }}</ref>, men publicerades inte förrän åtta år efter hans död. Det Bernoulli visade motsvarar svaga stora talens lag, med fallet då de ingående [[stokastisk variabel|stokastiska variablerna]] endast antar två värden. Egentligen behandlade han det omvända jämfört med hur stora talens lag idag brukar formuleras; givet ett utfall från N antal försök, hur kan vi då bestämma väntevärdet (Om vi tar upp N kulor ur en påse med enbart blåa och gula kulor, vad kan vi då säga om den totala fördelningen?)?

I sitt arbete beräknade Bernoulli även att det, exempelvis, krävs 25 500 observationer för att med säkerheten 1000/1001 landa på rätt svar +/- 1/50, om väntevärdet är 30/50.<ref>Stephen M. Stigler ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900'' Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press 1986, ISBN 0-674-40340-1</ref>

===Generalisering===
[[Siméon Denis Poisson]] försökte på 1830-talet att generalisera Bernoullis sats, vilken dock blev omdiskuterad<ref>Stephen M. Stigler ''The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900'' Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press 1986, ISBN 0-674-40340-1</ref>. Sin nuvarande formulering fick de stora talens lag 1933 av [[Andrej Kolmogorov]], även om det än idag presenteras nya varianter för olika specialfall.

==Användning i praktiken==
===Några användningsområden===
* Försäkringar: De stora talens lag är mycket användbar när det gäller försäkringar, då den kan ge en ungefärlig förutsägelse över framtida händelser utifrån tidigare år. Desto fler kunder ett försäkringsbolag har, ju mindre påverkar slumpen. Vid större förändringar och trender, till exempel klimatförändringar, är den dock åtminstone delvis oanvändbar.
* Spelbolag: Om ett spel i genomsnitt kommer att ge vinst åt arrangören, kommer även arrangören, efter tillräckligt många spelomgångar, att gå med vinst.
* Medicin: De stora talens lag minimerar ett slumpmässigt beteende av medicinska åtgärder.
* Naturvetenskap: Påverkan från icke regelmässiga mätfel kan minimeras genom att göra många mätningar.

===En felaktig tolkning===
En vanlig misstolkning av de stora talens lag är följande:

'''Missförstånd:''' ''"Om man kastar tärning ett antal gånger, och får fler, säg, femmor än förväntat (dvs <math> > 1/6</math>), kommer tärningen framöver att tendera att visa färre femmor än förväntat (dvs <math> < 1/6 </math>), för att den totala andelen ska kunna närma sig 1/6, i enlighet med De stora talens lag."''

Detta är en helt felaktig tolkning. Detta strider mot förutsättningen att observationerna ska vara oberoende, det vill säga att de inte ska påverkas av tidigare utfall, vilket de ju gör i detta missförstånd. Betrakta även följande: Vi antar att vi har kastat tärning 60 gånger, och andelen femmor har blivit 0,3 (dvs <math> > 1/6</math>. Om vi då kastar tärningen 60 gånger ytterliggare, varav 1/6 blir femmor, kommer det nya medelvärdet att vara närmare <math>1/6</math> än 0,3 (ty <math>0,3 > \frac{\frac{1}{6} + 0,3}{2}</math>) trots att tärningen inte visar färre femmor än det förväntade väntevärdet.

==Matematik==
===De stora talens lag i svag form===
Låt <math>M_n</math> vara medelvärdet av n inbördes [[oberoende]] [[stokastisk variabel|stokastiska variabler]] med gemensam [[sannolikhetsfördelning]], och <math>S_n</math> vara summan av de n första <math>X_i</math>-variablerna:

<math>S_n = X_1 + \cdots + X_n</math>
och
<math>M_n = \frac{S_n}{n}</math>.

Om [[väntevärde|väntevärdet]] <math>\mu = E(X_i)</math> är ändligt gäller för alla <math>\epsilon>0</math> att

<center>
<math>\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|M_n-\mu\right|<\epsilon\right) = 1</math>.
</center>

===De stora talens lag i stark form===
Låt <math>M_n</math> vara samma [[stokastisk variabel|stokastiska variabel]] som ovan och antag återigen att [[väntevärde|väntevärdet]] <math>\mu</math> är ändligt. Då gäller att

<center>
<math>P\left(\lim_{n \rightarrow \infty}M_n=\mu\right) = 1</math>
</center>

===Skillnaden mellan starka och svaga formen===
Den svaga formen säger att sannolikheten för att <math>M_n</math> ska konvergera mot <math>\mu</math> ''går mot'' 1, då n går mot oändligheten. Den starka formen säger å sin sida att sannolikheten att <math>M_n</math> ska konvergera mot <math>\mu</math> ''är'' 1.

Värt att notera är även att den starkare formen implicerar den svaga, medan den svaga inte implicerar den starka.

===Bevis för ett specialfall===
Det här är ett bevis för svaga stora talens lag med specialfallet stokastiska variabler som enbart antar värdena 0 och 1 med sannolikheten 1/2 vardera, exempelvis en slantsingling. Då gäller alltså att väntevärdet <math>E(X_i)</math> = 1/2. Notationen med <math>S_n</math> och <math>M_n</math> används som ovan. Då väntevärdesoperatorn är [[linjär]], gäller att<br>
<math>E(S_n) = E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n) = \frac{n}{2}</math> samt 
<math>E(M_n) = \frac{E(S_n)}{n} = \frac{1}{2}</math>.<br>
Låt <math>Z_n = (M_n - 1/2)^2</math>, så att [[varians|variansen]] hos <math>M_n</math> är <math>Var(M_n) = E(Z_n)</math>. Definiera sedan funktionen<br>
<math>Z^{*}_n = \begin{cases} \epsilon^2, Z_n \ge \epsilon^2\\ 0, Z_n < \epsilon^2\\ \end{cases}</math>.<br>
Här gäller <math>Z_n^{*} \le Z_n</math> och därmed <math>E(Z_n^{*}) \le E(Z_n)</math>.<br> Väntevärdet för denna funktion kan då skrivas <math>E(Z_n^{*}) = \epsilon^2 \cdot P(Z_n^{*} = \epsilon^2) + 0 \cdot P(Z_n^{*} = 0) = \epsilon^2 \cdot P(Z_n^{*} = \epsilon^2) = \epsilon^2 \cdot P(Z_n \ge \epsilon^2)</math>.<br>
Vi kan lösa ut att
<math>P(Z_n \ge \epsilon^2) = \frac{E(Z_n^{*})}{\epsilon^2} \le \frac{E(Z_n)}{\epsilon^2}</math>.<br>
Om vi sedan konstaterar att <math>|M_n - 1/2| \ge \epsilon</math> om och endast om <math>Z_n \ge \epsilon^2</math> får vi
<math>P(|M_n - \frac{1}{2}| \ge \epsilon) = P(Z_n \ge \epsilon^2) \le \frac{E(Z_n)}{\epsilon^2} = \frac{Var(M_n)}{\epsilon^2}</math><br>
Kan vi nu visa att högerledet i ovanstående olikhet går mot noll då <math>n</math> går mot oändligheten (alltså ett [[gränsvärde]]), har vi bevisat specialfallet. Definitionen av [[varians]] respektive <math>M_n</math> ger <math>Var(M_n) = E((M_n - \frac{1}{2})^2 = E((\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n} - \frac{1}{2})^2) </math><math>= E((\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n - \frac{n}{2}}{n} )^2) =
E((\frac{((X_1 - \frac{1}{2}) + (X_2 - \frac{1}{2}) + ... + (X_n - \frac{1}{2}))^2}{n}) </math><math>= \frac{1}{n^2}E(((X_1 - \frac{1}{2}) + (X_2 - \frac{1}{2}) + ... + (X_n - \frac{1}{2}))^2) = \frac{1}{n^2}E((\sum_{i=1}^n (X_i - \frac{1}{2}))^2) =  \frac{1}{n^2}E((\sum_{i=1}^n (X_i - \frac{1}{2}))(\sum_{j=1}^n (X_j - \frac{1}{2})) </math><math>= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E((X_i - \frac{1}{2})(X_j - \frac{1}{2}))</math><br>
<math>X_i</math> och <math>X_j</math> kan enbart anta värdena 0 resp 1. Då <math>i = j</math> (n olika fall) gäller alltså att <math>\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E((X_i - \frac{1}{2})(X_j - \frac{1}{2})) = \frac{1}{2}</math>. Då <math>i \ne j</math> gäller <math>X_i = X_j</math> <math>X_i \ne X_j</math> med sannolikheten 1/2 vardera, dvs produkten blir 1/4 resp -1/4 med sannolikhet 1/2 vardera. För [[väntevärde|väntevärdet]] gäller då <math>\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E((X_i - \frac{1}{2})(X_j - \frac{1}{2})) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2}) = 0</math>
Sammanfattningsvis ser vi alltså att 
<math>Var(M_n) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n E((X_i - \frac{1}{2})(X_j - \frac{1}{2})) = \frac{1}{n^2}\cdot n \cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{4n}</math><br>och därmed att
<math>P(|M_n - \frac{1}{2}| \ge \epsilon) = P(Z_n \ge \epsilon^2) \le \frac{E(Z_n}{\epsilon^2} = \frac{Var(M_n)}{\epsilon^2} = \frac{1}{4n\epsilon^2}</math>
vilket går mot 0 då <math>n \rightarrow \infty</math>. Därmed får vi, för alla <math>\epsilon > 0</math>, att<br>
<center><math>\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|M_n-\mu\right|<\epsilon\right) = 1</math>.<br></center>
Därmed är specialfallet av svaga stora talens lag bevisad. Det är fullt möjligt att gå vidare och även bevisa starka stora talens lag för detta fall, och även för mer generella fall.

==Se även==
*[[Centrala gränsvärdessatsen]]

==Litteratur==
*Olle Häggström ''Slumpens skördar - Strövtåg i sannolikhetsteorin'' Lund: Studentlitteratur, 2004, ISBN 91-44-03017-7
*Andreas Svensson ''Är tärningen kastad? - Sannolikhetslära för vem som helst'' Trollhättan: Bombadil Publishing, 2008, ISBN 91-85765-02-3

==Källor==
<references/>

==Externa länkar==
*[http://mathworld.wolfram.com/StrongLawofLargeNumbers.html Starka stora talens lag på MathWorld]
*[http://mathworld.wolfram.com/WeakLawofLargeNumbers.html Svaga stora talens lag på MathWorld]

[[Kategori:Sannolikhetsteori]]

[[bg:Закон за големите числа]]
[[cs:Zákon velkých čísel]]
[[da:Store tals lov]]
[[de:Gesetz der großen Zahlen]]
[[en:Law of large numbers]]
[[eo:Leĝo de grandaj nombroj]]
[[es:Ley de los grandes números]]
[[fa:قانون اعداد بزرگ]]
[[fr:Loi des grands nombres]]
[[he:חוק המספרים הגדולים]]
[[it:Legge dei grandi numeri]]
[[ja:大数の法則]]
[[ko:큰 수의 법칙]]
[[nl:Wetten van de grote aantallen]]
[[no:Store talls lov]]
[[pl:Prawo wielkich liczb]]
[[pt:Lei dos grandes números]]
[[ru:Закон больших чисел]]
[[simple:Law of large numbers]]
[[tr:Büyük sayılar yasası]]
[[ur:کثیر اعداد کا قانون]]
[[vi:Luật số lớn]]
[[zh:大数定律]]