Binär matris

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>En '''binär matris''', eller en '''noll-ett matris''', är en [[matris (matematik)|matris]] vars element bara består av 1:or eller 0:or. 

==Boolska operatorer==
De [[boolsk operator|boolska operatorerna]] ∧ (''och'') och ∨ (''eller'') definieras för vanliga boolska variabler ''b''<sub>1</sub> och ''b''<sub>2</sub> genom:

*''b''<sub>1</sub> ∧ ''b''<sub>2</sub> är 1 om både ''b''<sub>1</sub> = 1 och ''b''<sub>2</sub> = 1, annars 0.
*''b''<sub>1</sub> ∨ ''b''<sub>2</sub> är 1 om minst en av ''b''<sub>1</sub> och ''b''<sub>2</sub> är 1, annars 0.

Definition av Boolska operatorer för matriser.
Låt <math> A=[a_{ij}] </math> och <math> B=[b_{ij}] </math> vara binära matriser med lika antal rader och kolonner. Då definieras ''A''&nbsp;∨&nbsp;''B'' och ''A''&nbsp;∧&nbsp;''B'' som <Math> A\or B=[a_{ij}\or b_{ij}]</math> resp <math>A\and B=[a_{ij}\and b_{ij}]. </math>

===Exempel=== 
Vi har två 1-0 matriser ''A'' och ''B''.
:<math>A =\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0  \end{bmatrix}
\ \ 
B =\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0  \\
1 & 1 & 0  \end{bmatrix}</math>

Om vi väljer att förena ''A'' och ''B'' (''A''&nbsp;∨&nbsp;''B'')
:<math>A \or B =\begin{bmatrix}
1 \or 0 & 0 \or 1 & 1 \or 0 \\
0 \or 1 & 1 \or 1 & 0 \or 0  \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0\end{bmatrix}
</math>

Om vi väljer att ''A'' och ''B'' ska mötas (''A''&nbsp;∧&nbsp;''B'')
:<math>A \and B =\begin{bmatrix}
1 \and 0 & 0 \and 1 & 1 \and 0 \\
0 \and 1 & 1 \and 1 & 0 \and 0  \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\end{bmatrix}
</math>

==Boolska produkten==

Låt nu ''A'' vara en ''m''&times;''k'' 0-1 matris och b en ''k''&times;''n'' 0-1 matris. Då definieras den '''boolska produkten''' av ''A'' och ''B'' betecknad ''A''&nbsp;⊙&nbsp;''B'' som ''m''&times;''n''-matrisen ''C'' med <math>C_{ij}=(a_{i1}\and b_{1j}) \or (a_{i2}\and b_{2j}) \or \dots \or (a_{ik}\and b_{kj}) </math>

==Rekonstruktion från rad- och kolonnsummor==

Om elementen i en binär matris kan återskapas från dess rad- och kolonnsummor kallas den på engelska en "lonesum"-matris. [http://www.csit.fsu.edu/~burkardt/papers/linear_glossary.html#Lonesum_Matrix]

Antalet distinkta ''n''&times;''k''-matriser med denna egenskap ges av [[polybernoullital]]et <math>B_n^{(-k)}</math>, där

:<math>B_n^{(k)} = \sum_{m=0}^n (-1)^{n+m} m! \left\{\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}\right\} (m+1)^{-k}</math>

och <math>\left\{\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}\right\}</math> betecknar ett andra ordningens [[stirlingtal]].[http://www.lacim.uqam.ca:16080/~plouffe/OEIS/citations/battleShip.pdf]

==Se även==
*[[Matris (matematik)]]

[[Kategori:Abstrakt algebra]]

[[en:Binary matrix]]
[[it:Matrice binaria]]
[[nl:Binaire matrix]]
[[ru:Бинарная матрица]]
[[th:เมทริกซ์ฐานสอง]]
[[uk:Бінарна матриця]]