Kardinalitetmått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Ett kardinalitetmått eller räknemått är ett mått som mäter kardinaliteten för mängder. Kardinalitetmåttet används mestadels som ett enkelt exempel för mått men det också har tillämpningar i serieteori.

Innehåll

Definition

Låt X\, vara en mängd. Kardinalitetmåttet för mängden är en funktion \mu : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty], definierad som:

\mu (A) = \left\{ \begin{matrix}\mbox{card}(A), & \textrm{om } \ A \mbox{ är ändlig} \\ +\infty, & \textrm{om } \ A \mbox{ är oändlig}, \end{matrix} \right.

där card(A) är kardinaliteten för mängden A. Kardinalitetmåttet är ett mått.

Egenskaper

Det finns en koppling mellan kardinalitetmått och Diracmått: om A \subset X\, så är

\mu (A) = \sum_{x \in A} \delta_x (X).

Kardinalitetmått är nolldimensionella Hausdorffmått:

\mu = \mathcal{H}^0 .

Serieteori

Kardinalitetmåttet har tillämpningar i serieteori. Om X\, är uppräknelig, dvs

X = \{x_i : i \in \N \}\,,

så är kardinalitetmåttets måttintegral en serie: om f : X \rightarrow \R\, så är

\int_X \, f \, d\mu = \sum_{i = 1}^\infty f(x_i) .

Så att f är integrerbar om och endast om serien \sum_{i = 1}^\infty f(x_i) är absolutkonvergent.

Detta innebär också att vi man kan bevisa Hölders olikhet och Minkowskis olikhet för serier med Lp-normens Hölders och Minkowskis olikheter som är till för integraler.

Se även

Referenser

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Kardinalitetm%C3%A5tt"
Personliga verktyg