Juliamängden

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Juliamängden är en fraktal som fått sitt namn efter dess skapare Gaston Julia.

Mängden är besläktad med mandelbrotmängden och i definitionen av mängden används samma iterationsformel:

$z_{n+1} = z_{n}^2+c$

Skillnaden är att när man vid mandelbrotmängden hela tiden utgår från z₀=0 och varierar c, så varierar man för juliamängden startvärdet z₀ och använder samma värde på c. Juliamängden för ett visst c-värde är alltså alla startpunkter z₀ för vilken ovanstående formel konvergerar mot ett ändligt värde. På så sätt kan man säga att det för varje punkt c i mandelbrotmängden finns det en juliamängd. På sidan Mandelbrotmängden finns en utförlig beskrivning av hur kvadrerande fraktaler som denna, (och andra), kan åskådliggöras i ett tidflyktssystem.

Reverserad formel

Juliamängden i reverserad formel, C = 0,4 0,3. (max 5 upprepningar)

Det går även att med en reverserad formel att konvergera en punkt mot juliamängden. Metoden som beskrivs ovan utesluter de punkter som inte tillhör mängden men brukar formeln:

$z_{n+1} = \pm \sqrt{z_n - c}$

Om man därefter slumpvis väljer vilken av de två rötterna som skall ligga till grund för nästa iteration och sedan upprepar den ett stort antal gånger, så kommer punkten Z_n att konvergera mot juliamängdens kant, och när den väl nått den att "hoppa" från punkt till punkt på randen av fraktalen. Denna algoritm lämpar sig i bäst för att rita de delmängder som är helt sammanhängande i randen då de två huvudattraktorerna är svåra att nå med konvergensen. Det på grund av att slumpvalet med $50 / 50$ chans hela tiden gör att riktningen ändras. Men det går att undvika det till en viss grad om man upprepar val, (roterad 180º eller ej), ett antal gånger. Då låter man ett slumptal välja hur många upprepningar av samma val som skall genomföras, (maxiamalt 4-6 är tillräckligt), det ger fortfarande $50 / 50$ i sannolikhetsfördelning på lång sikt men större differenser vid några få utfall.