Från Rilpedia

Epsilon-delta-bevis är en typ av matematiska bevis angående gränsvärden. Med hjälp av epsilon-delta-bevis kan man exempelvis undersöka funktioners kontinuitet eller bevisa att en funktion har ett visst gränsvärde i en viss punkt.

Innehåll 1 Princip 2 Exempel 3 Alternativ beskrivning 4 Källor

Princip

Principen bakom epsilon-delta-beviset är att man undersöker en funktions kontinuitet i en viss punkt, i ett obegränsat antal dimensioner. Om man undersöker en funktion i en variabel, f(x), så granskar man en punkt (x₀,y₀).

Man bestämmer en viss avvikelse som tillåts från y₀ betecknat epsilon (ε). Man vill nu hitta en liknande avvikelse på x-axeln, delta (δ) som man vill få ett uttryck för. Idén är att bevisa att för alla ε > 0, oberoende hur litet man väljer det, så finns det ett motsvarande δ > 0 som gör att funktionens värden hålls innanför det bestämda intervallet (ifall funktionen är kontinuerlig i den valda punkten). I epsilon-delta-beräkningen gäller nu följande:

Vi studerar funktionen f(x) för olika värden på x. Om x kommer närmare punkten (x₀,y₀) än det δ vi söker, så måste funktionens y-värde i punkten x vara närmare y₀ än det ε vi bestämt.

I matematisk skrift kan detta uttryckas:

Exempel

Vi har funktionen f(x) = 2x − 7 och vi vill bevisa att (notera att detta inte trivialt följer av att f(4) = 1. Det vi i realiteten visar är att funktionen är kontinuerlig i x = 4). Vi gör detta med hjälp av ett epsilon-delta-bevis. Vi bestämmer inget speciellt tal för epsilon, utan vi vill ha ett uttryck som svar.

Vi utgår ifrån att

Detta innebär att så länge x-värdet vi granskar inte är längre än från x₀ = 4, så är y-värdet mindre än ε från y₀ = 1.

Vi kan alltså välja som maximal avvikelse längs x-axeln och kan då konstatera att så länge så är .

Alternativ beskrivning

Studera den reellvärda funktionen

vars definitionsmängd är den punkterade tallinjen . Vi är intresserade av att undersöka funktionens värden, f(x), då argumentet, x, rör sig kring det förbjudna talet 1. Om argumentet antar värdena 1.01, 1.001, 1.0001 och 0.9999, så antar funktionen de motsvarande värdena 2.01, 2.001, 2.0001 repektive 1.9999. Detta indikerar att funktionsvärdet f(x) närmar sig talet 2 då argumentet x närmar sig talet 1, både från höger och vänster på tallinjen. Det verkar som man kan få funktionsvärdet hur nära talet 2 som helst, bara man väljer argumentet tillräckligt nära talet 1.

Säg att vi vill att funktionsvärdet f(x) skall befinna sig på avståndet från talet 2. Detta kan man uttrycka med hjälp av absolutbelopps-funktionen:

Vad innebär detta för argumentet x ?

Om man sätter in uttrycket för funktionsvärdena får man

där vi har tillämpat konjugatregeln för att förenkla uttrycket . Detta visar att om vi vill att avståndet så måste vi välja talet x så att avståndet

Vi har alltså lyckats visa att det, för varje val av talet , går att finna ett motsvarande tal δ — vilket i detta fall råkar sammanfalla med talet — så att avståndet om avståndet

Med logisk symbolik uttrycker man detta på följande sätt:

Detta utläses: För varje existerar det δ > 0 sådant att om så är

Källor

• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Proof
• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Definition