Cramers regel

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Cramers regel är en sats inom linjär algebra, vilken ger lösningen till ett linjärt ekvationssystem med hjälp av determinanter. Namngiven efter Gabriel Cramer (1704-1752).

Beräkningsmässigt är metoden ineffektiv eftersom flera ekvationsevalueringar är nödvändiga. Den är därför inte använd i större grad inom praktiska tillämpningar. Men satsen har en större teoretisk innebörd då metoden ger ett explicit uttryck för lösningar av ekvationssystemet.

Ett ekvationssystem representeras i matrisnotation som

A\mathbf{x} = \mathbf{c}

där A är en inverterbar kvadratisk matris och vektorn \mathbf{x} är en kolumnvektor.

Satsen visar att

x_i = \frac{\det{A_i}}{\det{A}},

där Ai är matrisen med i:e kolumnen i A utbytt mot kolumnvektorn \mathbf{c} och xi den i:e komponenten i lösningsvektorn.

Exempel

Cramers metod är en bra hjälp för att lösa ekvationssystem som motsvarar en 2×2-matris:

\begin{matrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{matrix}

(vilket motsvarar matrisnotationen

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix} )

Lösningarna fås av satsen

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} = { ed - bf \over ad - bc}
y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}} ={ af - ec \over ad - bc}
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Cramers_regel"
Personliga verktyg