Begränsade konvergenssatsen

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Begränsade konvergenssatsen är en matematisk sats i måtteori. Den säger att man kan byta ordning på gränsvärde och integral om måttet för måttrummet är ändligt och funktionerna i en funktionsföljd är likformigt begränsade.

Satsen

Låt (X,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum så att \mu (X) < \infty. Låt (f_i)_{i\in\N} vara en följd av integrerbara funktioner så att |f_i| \leq C\, för alla i \in \N med C < \infty. Då är

\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.

Bevis

Detta är en enkel följd av dominerade konvergenssatsen, som kan appliceras på en funktion:

g := C\chi_X\,.

Funktionen g är mätbar eftersom X \in \mathcal{F}. Dessutom

\int |g| \,d\mu = C\int \chi_X \,d\mu = C\mu(X) < \infty,

dvs funktionen g är också integrerbar. Å andra sidan

|f_i| \leq C = C \chi_X = g

för alla i \in \N. Så att

\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu \stackrel{\mathrm{DKS}}{=} \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.

Vilket bevisar satsen.

Se även

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Begr%C3%A4nsade_konvergenssatsen"
Personliga verktyg