Tb-satsen

Från Rilpedia

Version från den 1 april 2009 kl. 22.57 av Novn (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Tb-satsen är en matematisk sats som säger att en viss singulär integraloperator, T, är en begränsad operator T: L^p \rightarrow L^p om och endast om man kan definiera T för en vissa funktion b1 och man kan definiera T:s transponat T* för en viss funktion b2. Satsen säger då att man måsta testa operatorn T och transponatet T* för endast dessatvå funktioner b1 och b2.

Guy David, Jean-Lin Journé och Stephen Semmes bevisade Tb-satsen 1985.

Innehåll

Bakgrund

En linjär operator T som opererar på mätbara funktioner i \R^n är en integraloperator om det finns en kärna K: \R^n \times \R^n \rightarrow \R så att man kan formulera

Tf(x) = \int K(x,y) f(y) \, dy

för en funktion f och alla x \in \R^n. Tyvärr är ofta den här formeln inte definierad för alla funktioner och inte heller för alla punkter. De här operatorerna kallas singulära. Mer precist, en integraloperator T är en singulär integraloperator om kärnan K inte är definierad inom diagonalen

\{(x,y):x=y\}\,

och Tf(x) är definierad bara när

x \notin \mbox{spt}(f) := \overline{\{f(u) : u \neq 0\}}\,,

dvs Tf(x) är inte definierad i funktionens f underlag.

Den intressanta frågan är: hur kan vi definiera en singulär integraloperator så att den är en begränsad operator L^p \rightarrow L^p där L^p\, är Lp-rummet för \R^n?

Hilberttransform

Till exempel, låt f \in C^\infty_c (\R), dvs underlaget för f är en kompakt mängd och f är C^\infty. Definiera

Hf(x) := \int \frac{f(y)}{x-y} \,dy

för x \notin \mbox{spt}(f)\,, dvs H\, är Hilberttransformen. Då blir kärnan

K(x,y) = \frac{1}{x-y}.

Hilberttransformen är en singulär integraloperator eftersom kärnan har en singulär punkt när x = y\,. Man kan också definiera Hilbertransformen för Lp-funktioner eftersom C^\infty_c (\R) är en tät delmängd i L^p (\R).

Dessutom, med detta kan man visa att det finns C_p > 0\, så att om f \in L^p så är

\|Hf\|_p \leq C_p \|f\|_p.

Därför är H en begränsad operator L^p \rightarrow L^p.

Kan man även visa detta för generella singulära integraloperatorer? Tb-satsen förklarar att det går.

Antaganden

Inom Tb-satsen behövs några antaganden om testfunktionerna b1 och b2, kärnan K och operatoren T.

Para-akkretivt antagande för testfunktionen

Låt b : \R^n \rightarrow \R vara en lokalt integrebar funktion. Man sägar att b är en para-akkretiv funktion om det finns \delta > 0 \, så att

\frac{1}{|Q|}\left|\int_Q b \right| \geq \delta

för alla kuber Q \subset \R^n där integralen är Lebesgueintegralen och |Q| är kubens Q:s Lebesguemått.

Standardvillkor för kärnan

En kärna K\, är en Calderón-Zygmund kärna om det uppfyller standardvillkoren:

  • Begränsadvillkor: det finns C > 0\, så att
|K(x,y)| \leq \frac{C}{|x-y|^n}
för alla x \neq y.
  • Tillväxtvillkor: det finns C > 0\, och \alpha > 0\, så att
|K(x+h,y) - K(x,y)| + |K(x,y+h) - K(x,y)| \leq \frac{C|h|^\alpha}{|x-y|^{n+\alpha}}
för alla |h| < \frac{1}{2}|x-y|.

Svagt begränsat-villkor för operatorer

Låt b_1, b_2 \in L^\infty (\R^n) vara para-akkretiva funktioner. En linjär operator T är (b_1,b_2)\,-svagt begränsat om det finns C > 0 \, så att

\left|\int \chi_Q b_2 T(\chi_Q b_1) \right| \leq C|Q|

för alla kuber Q \subset \R^n.

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)

Man behöver också funktioner som är begränsade med mellansvängning. En lokalt integrebar funktion f : \R^n \rightarrow \R är begränsad med mellansvängning (eng. Bounded with Mean Oscillation) om det finns C > 0\, så att

\frac{1}{|Q|}\int_Q \left| f(x) - \frac{1}{|Q|} \int_Q f \right| dx  \leq C

för alla kuber Q \subset \R^n. Om en funktion f : \R^n \rightarrow \R är begränsad med mellansvängning skriver man

f \in \mbox{BMO}(\R^n).

Tb-satsen

Låt b_1, b_2 \in L^\infty (\R^n) vara para-akkretiva funktioner, dessa kallas testfunktioner. Låt T\, vara en integraloperator som har en Calderón-Zygmund kärna. Antag att T\, är definierad för b_1\, och dessutom T\,:s transponat T^*\, är definierad för b_2\,.

Då är T\, en begränsad operator L^p \rightarrow L^p om och endast om

  • T\, är (b_1,b_2)\,-svagt begränsad,
  • Tb_1 \in \mbox{BMO}(\R^n) \, och
  • T^* b_2 \in \mbox{BMO}(\R^n)\, .

Skiss av bevis

Vår idé är att vi första prova Tb-satsen så att vi har en begränsad operator T : L^2 \rightarrow L^2. Det här är den kritiska andelen för det här provet. Nämligen, när vi har T : L^2 \rightarrow L^2 det är lätt att prova T : L^p \rightarrow L^p för fixt 1 < p < \infty\, eftersom vi kan interpolate med Cotlars olikheten för 1 < p < 2\, och sedan använda dualhetet för 2 < p < \infty.

Nuförtiden där finns många olika bevis för T : L^2 \rightarrow L^2. En prov är att vi använda dyadisk kuber:

Om k \in \Z så är Q \subset \R^n en dyadisk kub med ordning k, om där finns \overline{m} \in \Z^n så att

Q = [0,2^k[^n \, + \, 2^k \overline{m}\, .

Vi betäckna \mathcal{D}_k av familj av alla dyadisk kuber med ordning k i \R^n och

\mathcal{D} := \bigcup_{k \in \Z} \mathcal{D}_k .

För varje k \in \Z dyadiska kuber med ordning k är en stratifiering av \R^n och vi har:

Q,Q' \in \mathcal{D}_k \quad \Rightarrow \quad Q \cap Q' = \emptyset \quad \or \quad Q \subset Q' \quad \or \quad Q' \subset Q.

Vi har en begränsad operator T : L^2 \rightarrow L^2 om och endast om vi kan bevisa att

\|Tf\|_2 \leq C\|f\|_2\,

för alla f \in L^p. Eftersom L^2(\R^n) är en Hilbertrummet med inre produkten

\langle f,g \rangle := \int_{\R^n} fg

så man kan använda inom funktionalanalys så att

\|Tf\|_2 = \sup \{| \langle g,Tf \rangle | : g \in L^2, \|g\|_2 \leq 1\}\, .

Därför, vi måste använda att

| \langle g,Tf \rangle | \leq C\|f\|_2 \|g\|_2

för alla g \in L^2\, och \|g\|_2 \leq 1\,.

För k \in \Z och en para-akkretiv funktion b : \R^n \rightarrow \R definiera sannolikhetsteoretiska begrepper "väntevärder" och "spridninger":

  • k-väntevärde: \mathbb{E}_k f := \sum_{Q \in \mathcal{D}_k} \left( \frac{1}{|Q|}\int_Q f\right) \chi_Q
  • k-spridning: \mathbb{D}_k f := \mathbb{E}_{k-1} f - \mathbb{E}_k f
  • b-viktad k-väntevärde: \mathbb{E}_k^b f := b\frac{\mathbb{E}_k f}{\mathbb{E}_k b}
  • b-viktad k-spridning: \mathbb{D}_k^b f := \mathbb{E}_{k-1}^b f - \mathbb{E}_k^b f

Med Carlesons inbäddningsats vi kan visa att

f = \sum_{k \in \Z} \mathbb{D}_k^b f

för f \in L^2\, med konvergens vid L2-norm. Med svagt begränsat-villkor och standardvillkor man kan visa att för g \in L^2\, med \|g\|_2 \leq 1\, vi har

|\langle g,Tf \rangle | = \left|\sum_{k \in \Z} \langle g,[(\mathbb{E}_k^{b_2})^* T \mathbb{D}_k^{b_1} + (\mathbb{D}_k^{b_2})^* T \mathbb{E}_k^{b_1} + (\mathbb{D}_k^{b_2})^* T \mathbb{D}_k^{b_1} ]f \rangle \right| .

Å andra sidan för en para-akkretiv funktion b, en dyadisk kub Q \in \mathcal{D}_k, Q = \bigcup_{u = 1}^{2^n} Q_u, var Q_u \in \mathcal{D}_{k-1}, och 1 \leq u \leq 2^n definirar vi en Haarfunktion \varphi_{Q,u}^b : \R^n \rightarrow \R så att

\phi_{Q,u}^b (x) := \sqrt{\frac{\int_{Q_u} b \int_{\cup_{p=u+1}^{2^n} Q_p} b}{\int_{\cup_{p=u}^{2^n} Q_p} b}} \left(\frac{\chi_{Q_u} (x)}{\int_{Q_u} b} - \frac{\chi_{\cup_{p=u}^{2^n} Q_p} (x)}{\int_{\cup_{p=u}^{2^n} Q_p} b} \right)
  • Med Haarfunktioner man kan använda b-viktad k-väntevärder och -spridningar så att man har:
\left|\sum_{k \in \Z} \langle \mathbb{D}_k^{b_2} g, T \mathbb{D}_k^{b_1} f \rangle\right| \leq C_3 \|f\|_2\|g\|_2.
\left|\sum_{k \in \Z} \langle \mathbb{E}_k^{b_2} g, T \mathbb{D}_k^{b_1} f \rangle\right| \leq C_1 \|f\|_2\|g\|_2.
  • Förra är symmetrisk med \langle \mathbb{D}_k^{b_2} g, T \mathbb{E}_k^{b_1} f \rangle, dvs man har:
\left|\sum_{k \in \Z} \langle \mathbb{D}_k^{b_2} g, T \mathbb{E}_k^{b_1} f \rangle\right| \leq C_2 \|f\|_2\|g\|_2.

Därför vi har med triangelolikheten att

|\langle g,Tf \rangle | \leq \max\{C_1,C_2,C_3\} \|f\|_2\|g\|_2,

dvs Tb-satsen.

Tillämpningar

  • Hilberttransformen Hf\, ,
Hf(x) = \int \frac{f(y)}{x-y} \,dy ,

är en begränsad operator L^p \rightarrow L^p eftersom man kan testa Hilbertransformen med para-akkretiva testfunktioner

b_1 = b_2 = 1\, .
\mathcal{C}_\Gamma f(x) := \int \frac{f(y)}{x-y-i(\Gamma(x) - \Gamma(y))} \,dy,

är en begränsad operator L^p \rightarrow L^p eftersom man kan testa Cauchytransformen med para-akkretiva testfunktioner

b_1 = b_2 = 1+i\Gamma ' \, .

Här \Gamma : \R \rightarrow \R\, är en Lipschitzfunktion vilket ger att derivatan \Gamma '\, finns nästan överallt.

Se även

Referenser

  • Guy David, Jean-Lin Journé, Stephen Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation, Rev. Mat. Iberoamericana 1(4): 1 - 56, 1985.
Personliga verktyg