Från Rilpedia

Du har inte behörighet att redigera denna sida, av följande anledning:

Du kan se och kopiera denna sidas källtext:

<noinclude>{{rpsv.from.wpsv}}</noinclude>'''Rolles sats''' är en [[matematik|matematisk]] [[sats]], som bevisades av [[Michel Rolle]] 1691; den används främst i beviset av den mer generella [[medelvärdessatsen]]. ==Formulering== Låt <math>g</math> vara en [[reellvärd]] funktion som besitter följande tre egenskaper: # Den är definierad och [[kontinuerlig]] på ett slutet och begränsat [[intervall]] <math>\left[a,b\right]</math>. # Den är [[deriverbar]] över det öppna intervallet <math>\left(a,b\right)</math>. # Den antar samma värde i intervallets ändpunkter: <math>g\left(a\right)=g\left(b\right)</math>. Då antar funktionens derivata värdet noll någonstans i det öppna intervallet <math>(a,b)</math>; det vill säga att intervallet innehåller ett tal, ''c'', sådant att <math>g^\prime(c) = 0</math>. === Bevis === För funktionen ''g'' kan bara ett av följande två fall gälla: # På det slutna intervallet [a,b] är funktionen konstant: <math>\forall \, x \in [a,b], \quad g(x) = g(a).</math> #På det slutna intervallet [a,b] är funktionen inte konstant: <math>\exists \, x \in [a,b], \quad g(x) \neq g(a).</math> En konstant funktion har en derivata som är lika med noll överallt i det inre av sitt definitionsområde. Om det första fallet gäller så vet vi därför att derivatan till funktionen ''g'' är noll på hela intervallet <math>(a,b)</math>: :<math>\forall \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.</math> Man kan därför välja ''c'' som vilket som helst tal mellan ''a'' och ''b''; till exempel kan man ta <math>c = (a+b)/2</math>. Om det andra fallet gäller så skall vi visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller minst en punkt där derivatan till funktionen ''g'' är noll: :<math>\exists \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.</math> Det finns en sats som säger att :''en kontinuerlig funktion över ett slutet och begränsat intervall antar både sitt största och sitt minsta värde över intervallet''. Vi vet att funktionen ''g'' är kontinuerlig över det slutna intervallet [a,b]. Därför antar den sitt största värde (M) för ett tal i detta intervall och sitt minsta värde (m) för ett tal i detta intervall; kalla dessa tal för <math>x_M</math> och <math>x_m</math> respektive. Talen <math>x_M</math> och <math>x_m</math> kan inte båda vara ändpunkter till intervallet [a,b], eftersom förutsättningen att ''g(a) = g(b)'' då innebär att funktionen ''g'' är konstant, vilket vi utgår från att den inte är. Vi vet därför att något av talen <math>x_M</math> och <math>x_m</math> ligger i det öppna intervallet (a,b). På det öppna intervallet (a,b) är funktionen ''g'' deriverbar och vi vet att den antar sitt största eller sitt minsta värde i detta intervall. Det finns en sats som säger att funktionens derivata i en sådan inre extrempunkt måste vara noll: :<math>g^\prime(x_M)=0</math> eller <math>g^\prime(x_m)=0.</math> Vi har härmed lyckats visa att det öppna intervallet (a,b) innehåller ett tal där derivatan till funktionen ''g'' antar värdet noll: :<math>\exists \, x \in (a,b), \quad g^\prime(x) = 0.</math> (Ta talet <math>x=x_m</math> eller <math>x=x_M</math>.) ==Konsekvenser== Rolles sats är normalt det viktigaste delresultat som används för att bevisa [[differentialkalkylens medelvärdessats]]. [[Kategori:Matematisk analys]] [[Kategori:Teorem]] [[ar:مبرهنة رول]] [[ca:Teorema de Rolle]] [[cs:Rolleova věta]] [[da:Rolles sætning]] [[de:Satz von Rolle]] [[en:Rolle's theorem]] [[es:Teorema de Rolle]] [[fa:قضیه رل]] [[fi:Rollen lause]] [[fr:Théorème de Rolle]] [[he:משפט רול]] [[hu:Rolle tétele]] [[it:Teorema di Rolle]] [[ja:ロルの定理]] [[ko:롤의 정리]] [[lmo:Teurema da Rolle]] [[nl:Stelling van Rolle]] [[pl:Twierdzenie Rolle'a]] [[pt:Teorema de Rolle]] [[ro:Teorema lui Rolle]] [[ru:Теорема Ролля]] [[sr:Ролова теорема]] [[uk:Теорема Ролля]] [[zh:罗尔定理]]

Tillbaka till Rolles sats.