Cosinussatsen
Från Rilpedia
Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den motstående vinkeln.
Antag att vi har en triangel med sidlängderna a, b och c. Dessutom betecknar vi vinkeln som står mot sidan a med α.
Då gäller att . Speciellt, om (det vill säga en rät vinkel), så erhålls Pythagoras sats, då cosinus för en rät vinkel är lika med 0.
Bevis
Cosinussatsen kan bevisas på flera sätt men med följande resonemang kan satsen härledas geometriskt.
Om vi delar in en triangel enligt figur 3 så får man med hjälp av Pythagoras sats att .
Med hjälp av figuren inses sedan enkelt att acosβ = c − bcosα som vi sätter in i den första formeln för a2 fås att
En utveckling av det ovanstående uttrycket ger till slut
Se även