Pseudometriskt rum

Från Rilpedia

Version från den 19 april 2009 kl. 14.50 av Calle (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

I matematiken är ett pseudometriskt rum en mängd med en tilldelad avståndsfunktion, en pseudometrik, i likhet med ett metriskt rum, men i ett pseudometriskt rum kan avståndsfunktionen bli noll även om elementen inte är lika.

Ibland, framförallt inom funktionalanalys, används termen semimetrisk rum om pseudometriska rum, doch har semimetriskt rum en annan betydelse inom topologi.

Innehåll

Definition

Ett pseudometriskt rum är ett par (X,d) där X är en mängd och d är en pseudometrik. Villkoren för en pseudometrik är, för  x, y \in X :

d(x,y) \geq 0
d(x, x) = 0\,
d(x, y) = d(y, x)\, (symmetri)
d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) (triangelolikhet)

Skillnaden mellan en metrik och en pseudometrik är alltså att för en pseudometrik implicerar inte d(x,y) = 0 att x = y, vilket är falllet för en vanlig metrik.

Exempel

Pseudometriska rum dyker upp i funktionalanalys. Om man t.ex. betraktar ett rum X och utifrån detta skapar ett nytt rum  \mathcal{F}(X) som består av alla funktioner  f:X \to \mathbb{R} . Om vi väljer ett speciellt element  x_0 \in X , kan vi få en pseudometrik på  \mathcal{F}(X) genom:

d(f, g) = |f(x_0) - g(x_0)|\,.

där  f, g \in \mathcal{F}(X).

I ett vektorrum kan man inducera en pseudometrik från en pseudonorm, p genom:

d(x, y) = p(x-y)\,

Metriska rum från pseudometriska rum

Man kan, utgående från ett pseudometriskt rum, bilda ett metriskt rum.

Låt (X,d) vara ett pseudometriskt rum. Definiera en ekvivalensrelation, ˜, på X genom:

x \sim y\, om d(x,y)=0\,

och låt X * vara mängden av ekvivalensklasser som uppstår. Definiera sedan metriken:

d^*([x],[y]) = d(x,y)\,

(X * ,d * ) är ett metriskt rum.

Exempel

Det viktiga exempel för den här ekvivalensrelation är Lp-rummet när Lp-normen

\| f \|_p := \left({\int |f|^p}\right)^{1/p}

för f \in L^p formar en pseudometrik

d(f,g) := \|f-g\|_p

för f,g \in L^p. Vi definiera Lp-rummet (med samma symbol) så att det har metriken d^*\, för ekvivalensklasser.

Se även

Personliga verktyg
På andra språk