Mätbar funktion

Från Rilpedia

Version från den 25 mars 2009 kl. 21.06 av Petter Strandmark (Diskussion)
(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Innehåll

Formell definition

För en mätbar funktion är den inversa bilden av en mätbar mängd också mätbar.

Låt (X,\mathcal{F})\, och (Y,\mathcal{G})\, vara mätbara rum.

En funktion f: X \rightarrow Y är mätbar om

f^{-1} (G) \in \mathcal{F}\,

för alla G \in \mathcal{G}\,.

Man kan också säga att en funktion är \mathcal{F}\,-mätbar eller (\mathcal{F},\mathcal{G})\,-mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Lebesguemätbar funktion

Om (Y,\mathcal{G}) = (\R,\mbox{Leb}\,\R)\, kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.

Borelfunktion

Låt

\overline{\R}:=\R\cup \{ -\infty,  +\infty \}.

Om X är ett topologiskt rum, (X,\mathcal{F}) = (X,\mbox{Bor}\,X)\, och (Y,\mathcal{G}) = (\overline{\R},\mbox{Bor}\,\overline{\R})\, så kallas en mätbar funktion

f: X \rightarrow \overline{\R}

för Borelfunktion.

Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion f: X \rightarrow \R \cup \{ -\infty,  +\infty \} är en Borelfunktion om och endast om

f^{-1} (G)\,, f^{-1} (\{ -\infty \} )\, och f^{-1} (\{ +\infty \} )\, .

är Borelmängder för alla öppna mängder G \subset \mathbb{R}

Alternativt, en funktion f: X \rightarrow \overline{\R} är en Borelfunktion om och endast om

\lbrace x \in A : f(x) > c \rbrace

är Borelmängder för alla c \in \R.

Exempel

Alla kontinuerliga funktioner i \R^n är Lebesguemätbara och Borelfunktioner.

Se även



Måtteori

Mått (matematik)
Konstruktion av en icke mätbar mängd
Definition
Yttre mått
Egenskaper hos mått
Begrepp
Nollmängd
Nästan överallt
Fullständigt mått
Integration
Mätbar funktion
Lebesgueintegration
Egenskaper hos måttintegral

Källor

  • G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
Personliga verktyg