Talföljd

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

En talföljd (följd, progression) är en ändlig eller oändlig följd av tal, vanligen betecknad med hjälp av index som a_1,a_2,a_3, \dots

Innehåll

Definitioner

Talen a_1,a_2,a_3, \dots \ kallas talföljdens element. Talföljden kan betraktas som en funktion f från de positiva heltalen till alla tal, f(n) = a_n \ .

En talföljd kan betecknas a_1,a_2,a_3, \dots Ofta används den kortare beteckningen (a_n)\ .

Notera att talen i följden inte behöver ha olika värden.

Att beskriva en talföljd

Talföljden kan anges med en explicit formel, till exempel

a_n = 2^n\ .

Den kan också anges genom en rekursionsformel, där varje element uttrycks i de föregående, tillsammans med startvärden, till exempel

a_{n+1} = 2a_n, \quad a_1 = 2\

Typer

En talföljd kallas

  • växande om a_{n+1} \ge a_n för alla n

och strängt växande om an + 1 > an för alla n

  • avtagande om a_{n+1} \le a_n för alla n

och strängt avtagande om an + 1 < an för alla n

  • monoton om den är antingen växande eller avtagande,
  • oändlig om n kan anta hur stora värden som helst,
  • begränsad upptill om det finns ett tal M sådant att an < M för alla n
  • begränsad nedtill om det finns ett tal m sådant att an > m för alla n

Konvergens och divergens

Om talen i en oändlig talföljd närmar sig ett bestämt tal b, kallas talföljden konvergent och b kallas talföljdens gränsvärde:

\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = b

En följd som inte är konvergent kallas divergent.

Exempel:

  • \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, ... är konvergent med gränsvärdet 0;
  • -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ... är konvergent med gränsvärdet 0;
  • 1,0,1,0,1,0,... är divergent;
  • 11,22,33,... är divergent.

En (oändlig) decimalutveckling är en konvergent talföljd. Betrakta t ex det rationella talet och dess decimalutveckling 0,\!757575...; den senare står för den konvergenta följden \frac{7}{10}, \frac{75}{10^2},\frac{757}{10^3}, \frac{7575}{10^4}, \ldots vars gränsvärde är 25/33.

Vanliga talföljder

  • En aritmetisk följd: differensen mellan på varandra följande element är konstant.
Exempel: 5, 8, 11, 14, ..., 5 + (n - 1)\cdot3,...
Exempel: 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},\ldots,\left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}

Se även

Externa länkar

  • The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Maintained by N. J. A. Sloane
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Talf%C3%B6ljd"
Personliga verktyg