Metrik av mått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Metrik av mått är en metrik mellan mått. Metrik av mått är en viktig struktur när man undersöker svag konvergens av mått.

Innehåll

Definitioner

Först behövs några definitioner för metriken.

Mängden av Radonmått är mängden av alla Radonmått i \R^n\, begränsade till Borelmängder \mathrm{Bor} \, \R^n:

\mathfrak{M}(\R^n) := \left\{\, \mu : \mathrm{Bor} \, \R^n \to [0,\infty] \,\ | \,\ \mu \mbox{ är ett Radonmått } \right\}.\,

Mängden av Lipschitzfunktioner är mängden av alla Lipschitzfunktioner definierad i en mängd A \subset \R^n\, (se också \infty\,-Sobolevrummet):

W^{1,\infty}(A) := \left\{\, f : A \to \R \,\ | \,\ f \mbox{ är en Lipschitzfunktion } \right\}.\,

i-klass metriken av Radonmått, där i \in \N\,, är en funktion d_i : \mathfrak{M}(\R^n) \times \mathfrak{M}(\R^n) \rightarrow \R\, definierad som:

d_i (\mu,\nu) := \sup \left\{\, \left| \int f \,d\mu - \int f\, d\nu \right| \,  : \, f \in W^{1,\infty}(B_i(0)) \right\},\,

dvs supremum av distansen för måttintegraler av mått \mu,\nu \in \mathfrak{M}(\R^n)\, över Lipschitzfunktioner i bollen B_i(0)\,.

Det går att visa att (\mathfrak{M}(\R^n),d_i)\, är ett metriskt rum för alla i \in \N\,. Tyvärr det är inte ett fullständigt metriskt rum. Så istället definierar man en annan metrik med hjälp av metrikerna d_i\,, i \in \N.

Formell definition

Metrik av mått, d\,, är en formellt funktion \mathfrak{M}(\R^n) \times \mathfrak{M}(\R^n) \rightarrow \R\, definierad som:

d(\mu,\nu) := \sum_{i = 1}^\infty 2^{-i} \min \left\{1,d_i(\mu,\nu)\right\},

för \mu,\nu \in \mathfrak{M}(\R^n).\,

Det går att visa att rummet (\mathfrak{M}(\R^n),d)\,, rummet av mått, är ett fullständigt metriskt rum och dessutom separabelt. Den täta och uppräkneliga delmängden av Radonmått i \mathfrak{M}(\R^n)\, är summan av Diracmått över mittpunkter av dyadiska kuber i \R^n. [1]

Svag konvergens av mått

Eftersom (\mathfrak{M}(\R^n),d)\, är ett metriskt rum man kan definiera konvergens av mått: en följd av mått (\mu_i)\, konvergera till \mu\, om

d(\mu_i,\mu) \rightarrow 0\,, när i \rightarrow \infty\,.

Man kallar den här typen av konvergens för svag konvergens av mått och skriver:

\ \mu_i \rightharpoonup \mu ,\ \mu_i \ \stackrel{\mathrm{w}}{\rightarrow} \ \mu , eller \ \mu_i \ \stackrel{\mathrm{*}}{\rightarrow} \ \mu,

där w (eng. weak) och \ast\, (eng. star) antyder på svaga stjärnatopologin av Radonmått.

Det går att visa att

\ \mu_i \rightharpoonup \mu ,

om och endast om

\int f \, d\mu_i \rightarrow \int f\, d\mu \,, när i \rightarrow \infty\,.

för alla f \in C_c(\R^n)\, där C_c(\R^n)\, är mängden av alla kontinuerliga funktioner i \R^n\, med kompakt stöd.

Anmärkning: det finns exempel av mängder A \subset \R^n\, när \mu_i \rightharpoonup \mu men \mu_i (A) \nrightarrow \mu(A)\,. Å andra sidan om A\, är begränsad och \mu(\partial A) = 0\, så är \mu_i (A) \rightarrow \mu(A)\, om \mu_i \rightharpoonup \mu.

Se även

Referenser

  1. ↑ Pertti Mattila (1995), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and rectifiability (1st edition), Anmärkning 14.15, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-65595-8
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Metrik_av_m%C3%A5tt"
Personliga verktyg